Chapitre 8 : TRIGONOMÉTRIE

Chapitre 8 :
TRIGONOMÉTRIE
« La trigonométrie c’est l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles qu’on connaît » D’Alembert 1789.
I)
Triangle rectangle et trigonométrie
1) Définitions
B
Hypoténuse
Soit ABC un triangle rectangle en A .
Côté opposé à l’angle BCA
A
C
Côté adjacent à l’angle BCA
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle aigu
par cos (
=
=
, noté sin (
est défini
longueur du côté opposé à cet angle
=
longueur de l'hypoténuse
Définition : Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle aigu
par tan (
est défini
longueur du côté adjacent à cet angle
=
longueur de l'hypoténuse
Définition : Dans un triangle rectangle, le sinus de l’angle aigu
par sin (
, noté cos (
, noté tan (
est défini
longueur du côté opposé à cet angle
=
=
longueur du côté adjacent à cet angle
Remarque :
 Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles rectangles.
 L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu
sont toujours compris entre 0 et 1.
 Ces formules permettent de calculer des angles et des longueurs.
2) Relations trigonométriques
Propriété 1: Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a :
sin x
tan x =
(x  90°)
cos x
Démonstration :
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle : longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle ×
longueur de l'hypoténuse
longueur de l'hypoténuse
longueur del'hypoténuse
longueur du côté adjacent à cet angle
=
longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Propriété 2 :
Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a : sin²x + cos²x = 1.
Démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
cos (x) =
AB
et
BC
sin (x) =
AC
BC
2
 AB   AC 
sin²(x) + cos²(x) = 
 

 BC   BC 
AB 2 AC 2
sin²(x) + cos²(x) =

BC 2 BC 2
sin²(x) + cos²(x) =
B
2
x
A
C
AB ²  AC ²
BC ²
sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC²
Remarque :


La propriété 2 permet de calculer le cosinus d’un angle en connaissant son sinus (et vice-versa).
La propriété 1 permet de calculer le cosinus d’un angle, son sinus ou sa tangente en connaissant les 2 autres.
Exemple d’utilisation des propriétés : On sait que
cos 60°= 1
2
Calculer la valeur exacte de sin 60° et de tan 60°
On sait que cos² 60° + sin² 60°=1 donc sin² 60°=1 - cos² 60°
Et tan 60°=
sin60°
=
cos60°
sin²60° = 1- =
3
2
3 2
=
 = 3
1
2 1
2
II Valeurs particulières
x
0°
30°
45°
60°
Sin x
0
1
2
Cos x
1
2
2
2
2
3
2
1
2
Tan x
0
1
3
3
2
3
3
90°
1
0
donc sin°60 =
car cos x 0