TS spécialité DS1 3/10/11 TS spécialité DS1 3/10/11

TS spécialité DS1 3/10/11
Exercice 1 :
Trouver tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un quotient entier égal à 3 fois le reste.
Exercice 2 :
Démontrer par disjonction des cas que , pour tout entier naturel n , n(n+1)(2n+1) est divisible par 3.
Exercice 3 :
Pour quelles valeurs de l’entier relatif n la fraction
n+8
est-elle elle-même un entier ?
2n –5
Exercice 4 :
1)Vérifier que (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1 2)Pour n ∈ IN * on pose a = (n+1)3 et b = n² Pour quelles valeurs de n , le reste de la division de a par b est-­‐il 3n+1 ? Quel est le reste dans les autres cas ? Exercice 5 :
Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant : 9x2 = y2 + 20 TS spécialité DS1 3/10/11
Exercice 1 :
Trouver tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un quotient entier égal à 3 fois le reste.
Exercice 2 :
Démontrer par disjonction des cas que , pour tout entier naturel n , n(n+1)(2n+1) est divisible par 3.
Exercice 3 :
Pour quelles valeurs de l’entier relatif n la fraction
n+8
est-elle elle-même un entier ?
2n –5
Exercice 4 :
1)Vérifier que (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1 2)Pour n ∈ IN * on pose a = (n+1)3 et b = n² Pour quelles valeurs de n , le reste de la division de a par b est-­‐il 3n+1 ? Quel est le reste dans les autres cas ? Exercice 5 :
Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant : 9x2 = y2 + 20 TS spé CORRIGE DS1 Exercice 1 :
Les nombres cherchés sont les nombres n tels que n = 5×3r + r et 0 ≤ r < 5 (car le quotient est q = 3r)
Il en résulte que n = 16r avec r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3 ou r = 4 .
Les solutions sont donc 0 ; 16 ; 32 ; 48 ; 64 .
Exercice 2 :
Posons a = n(n+1)(2n + 1)
Il s’agit de prouver que a = 3k avec k ∈ZZ
Or tout entier naturel n s’écrit n = 3q ou n = 3q +1 ou n = 3q + 2 avec q ∈ZZ (car le reste de la division euclidienne
de n par 3 est soit 0 , soit 1 , soit 2)
Si n = 3q alors a = 3q(3q+1)(6q +1) et q(3q+1)(6q +1) ∈ ZZ donc 3/ a
Si n = 3q + 1 alors a = (3q+1)(3q + 2)(6q +3) = 3(3q+1)(3q + 2)(q + 1)
et (3q+1)(3q + 2)(q + 1) ∈ ZZ donc 3 / a
Si n = 3q + 2 alors a = (3q + 2 )(3q + 3)(6q + 7) = 3(3q + 2 )(q + 1)(6q + 7)
et (3q + 2 )(q + 1)(6q + 7) ∈ ZZ donc 3 / a .
Exercice 3 :
n+8
est entier ⇔ 2n – 5 divise n + 8
2n –5
Or , 2n – 5 / 2n – 5 donc, si 2n – 5 / n + 8 , alors,
d’après la propriété fondamentale avec u = –1 et v = 2 on obtient : 2n – 5 / – (2n – 5)+ 2 (n + 8) = 21
donc 2n – 5 / 21
Or , D(21) = { – 21 ; – 7 ; – 3 ; – 1 ; 1 ; 3 ; 7 ; 21}
On a :
2n – 5 = –21 ⇔ n = –8
Ou
2n – 5 = – 7 ⇔ n = – 1
Ou
2n – 5 = –3 ⇔ n = 1
Ou
2n – 5 = – 1 ⇔ n = 2
Ou
2n – 5 = 1 ⇔ n = 3
Ou
2n – 5 = 3 ⇔ n = 4
Ou
2n – 5 = 7 ⇔ n = 6
Ou
2n – 5 = 21 ⇔ n = 13
Ainsi
S = { – 8 ; 1 ; 3 ; 6 ; –1 ; 2 ; 4 ; 13 }
Vérification : pour toutes les solutions, on calcule
n+8
et c’est un entier !
2n –5
Exercice 4 :
1)(n+1)3 = n3 + 3×n² ×1 + 3×1²×n + 13 = n3 + 3n² + 3n + 1 n2(n+3) + 3n + 1 = n3 + 3n² +3n + 1 donc (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1 2) (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1 Si 0 ≤ 3n + 1 < n² , alors le reste de la division euclidienne de (n + 1)3 par n² est 3n + 1. Or 0 ≤ 3n + 1 < n² ⇔ 3n + 1 < n² (car n ∈ IN* donc 3n + 1 est positif ) ⇔ n² – 3n – 1 > 0 Soit P(x) = x² – 3x – 1 Δ =9 + 4 = 13 x1 = 3 + 13
3 – 13
≈ 3,3 x2 = ≈ –0,3 2
2 On a P(x) > 0 ⇔ x ∈ ] – ∞ ; x2 [ U] x1 ; + ∞[ On en déduit que : n² – 3n – 1 > 0 ⇔ n ≥ 4 Donc le reste de la division de a par b est 3n + 1 pour tout n ≥4 . Pour n = On a : (n + 1)3 = Et n² = Le reste est : 1 8 1 0 2 27 4 3 3 64 9 1 n =1 le reste est Exercice 5 :
9x2 = y2 + 20 ⇔ (3x – y)( 3x + y) = 20 Les entiers 3x – y et 3x + y sont des diviseurs associés positifs de 20(car x ∈IN et y ∈IN donc 3x + y ∈IN) ; de plus on peut remarquer que 3x – y < 3x + y. Or D(20) = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20} Les systèmes possibles sont les suivants : ⎧ 3x – y = 1
⎧ 3x – y = 2
⎧ 3x – y = 4
⎨ ⎨ ⎨ o
u o
u ⎩ 3x + y = 20
⎩ 3x + y = 10
⎩ 3x + y = 5 ⎧ 6x = 21 ⇔ ⎨⎩ 3x + y = 20
⎧ 6x = 12 ou ⎨⎩ 3x + y =10
⎧ x = 2
⇔ impossible dans IN×IN ou ⎨⎩ ⎧ 6x = 9 ou ⎨⎩ y = 4
ou impossible dans IN×IN Donc S = {(2 ; 4)} 3x + y = 10