chapitre 1 : puissances, calcul litteral

7. CORRIGES DES PROBLEMES : MULTIPLICATION ET DIVISION
Problème 1 : concours :
1/ si abc est divisible par 11 alors 100a +10b + c = 11 k avec k entier.
100a +10b + c = 99a + a + 11b – b + c = 99a + 11b +(a – b + c) = 11( 9a + b ) + (a – b +c ).
Donc 11( 9a + b ) + (a – b +c ) = 11k donc a – b +c = 11k – 11 (9a + b) soit:
a – b +c = 11 (k - 9a - b) donc a – b +c est un multiple de 11. VRAI.
2/ Soit n un entier. Le programme correspond à :
(n  5)  7  3n  5  7n  35  3n  5  10n  30 (n  5)  7  3n  5  7n  35  3n  5  10n  30
 10(n  3) qui est un multiple de 10. VRAI.
3/ La lettre x désigne un nombre
Enoncé 1 : contre exemple : Si 2x = 1 alors x = ½ = 0,5 donc FAUX.
Enoncé 2 : alors x/2 = n avec n entier naturel donc x = 2 n produit de deux entiers naturels donc entier
naturel. VRAI.
Enoncé 3 : si x + 1 = 0 alors x = - 1 donc FAUX.
4/ Soit aaa ce nombre alors aaa = 100a + 10a + a = 111a = 37  3 a. VRAI.
5/ deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1 : contre exemple : 3 et 9 qui sont
divisibles par 3. FAUX.
6/ Soient ab et bc deux nombres entiers naturels écrits en base dix. Montrer que si 7 est un diviseur
commun à ces deux entiers naturels, alors 7 divise également le nombre ca.
(1) ab = 10a + b = 7k et (2) bc = 10b + c = 7k’ avec k et k’ entiers naturels.
ca  10c  a
ca  10(7k '10b)  a d' après (2)
ca  70k '100b  a
Alors ca  70k '100(7k  10a)  a d' après (1)
ca  70k '700k  1000a  a
ca  7(10k '100k )  1001a
ca  7(10k '100k  143a).
Donc ca est bien un multiple de 7 et 7 divise ca.
Problème 2 :concours :
1a/ q = 3 361 674 et r = 10.
1b/ 23 = 17 + 6 donc q = 4 957 630 + 1 = 4 957 631 et r = 6.
1c/ 57 148 468 + 84 279 733 = (3 361 674 + 4 957 630)  17 + 10 + 23 mais 33 > 17.
= 8 319 304  17 + (17 + 16)
= 8 319 305  17 + 16.
q = 8 319 305 et r = 16.
57 148 468  2 = 3 361 674  2  17 + 10  2 mais 20 > 17.
= 6 723 348  17 + 17 + 3
= 6 723 349  17 + 3.
q = 6 723 349 et r = 3.
2a/ a  17q  r , r < 17 et a'  17q'r ' , r’ < 17 donc a  a'  17(q  q' )  r  r ' , r + r’ < 34.
 Si r + r’ < 17 alors le quotient est q + q’ et le reste est r + r’.
 Si 17  r  r '  34 alors 17  17  r  r '17  34  17 soit 0  r  r '17  17
Et a  a'  17(q  q' )  17  17  r  r '  17(q  q'1)  r  r '17. alors le quotient est q + q’+1 et le
reste est r + r’ – 17.
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2b/ a  17q  r , r < 17. donc 2a  17  2  q  r  2 soit 2a  17  2q  2r , 2r < 34.
 Si 2r < 17 alors le quotient est 2q et le reste est 2r.
 Si 17  2r  34 alors 17  17  2r  17  34  17 soit 0  2r  17  17
Et 2a  17  2q  17  17  2r  17(2q  1)  2r  17. alors le quotient est 2q+1 et le reste est 2r – 17.
Problème 3 : concours :
1/ 2006  4  501  2 2007  4  501  3 2008  4  502  0 2009  4  502  1 2010  4  502  2
2/ r désigne le reste de la division par 4 du carré de l’entier n. Donner les valeurs de r quand n prend
les valeurs de 0 à 12. Que pouvez-vous conjecturer au vu des résultats ?
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n²
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
Reste
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Si n est pair alors le reste est nul, si n est impair alors le reste est 1.
3/ Si n est pair alors n = 2 k avec k entier naturel alors n ² = 4 k ² donc n² est divisible par 4 et le reste
de la division est nul.
Si n est impair alors n = 2 k +1 avec k entier naturel alors n ² = 4 k ² + 4 k + 1 = 4 (k ² + k ) +1
donc n ² n’est pas divisible par 4 et le reste de la division est 1.
4/ Si a est impair alors a = 2 k +1 avec k entier naturel
Si b est impair alors b = 2 k’ +1 avec k’ entier naturel
a ² + b ² = = 4 (k ² + k ) + 1 + 4 (k’ ² + k’ ) + 1 = 4 ( k² + k’ ² + k + k’ ) + 2.
Donc le reste de la division par 4 est 2. Or d’après la question précédente, les restes des nombres
entiers sont 1 et 0 seulement. Donc a ² + b ² n’est pas le carré d’un nombre entier.
Problème 4 : concours :
Le but de ce problème est de trouver une règle de calcul mental qui permette de calculer le produit de
deux nombres entiers naturels strictement inférieurs à 100 tels que :
- leur chiffre des dizaines soit le même ;
- la somme de leurs chiffres des unités soit 10.
1/ 13  17 = 221 ; 22  28 = 616 ; 34  36 = 1 224; 45  45 = 2 025 ; 51  59 = 3 009.
2/ Pour obtenir le résultat, on multiplie le chiffre des dizaines par le chiffre suivant et on multiplie les
deux chiffres des unités ensemble.
Exemple : pour 13  17 = 221, 1  ( 1 + 1) = 1  2 = 2 et 3  7 = 21 donc 221.
Preuve : soit ab le premier nombre en base dix. Alors le deuxième nombre est a (10 – b ).
Soit ab  a(10  b)  N
N  (10a  b)(10a  10  b)
N  100a ²  100a  10ab  10ab  10b  b²
N  100a(a  1)  b(10  b)
On multiplie bien le chiffre des dizaines a par le suivant a + 1 et on multiplie les chiffres des unités
ensemble.
3/ laissé au lecteur.
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