Devoir en classe n˚1

TS Spécialité
Devoir en classe n˚1
24/10/2014
Exercice 1 : Autour de la division euclidienne.
1. Énoncer le théorème de la division euclidienne dans Z.
2. Déterminer les entiers a, avec 1000 ≤ a ≤ 2000, tels que le quotient et le reste de la division euclidienne
par 127 sont égaux.
3. La différence entre deux entiers naturels est 538. Si l ?on divise l ?un par l ?autre le quotient est 13 et
le reste 34. Quels sont ces deux entiers naturels ?
Exercice 2 : Disjonction de cas
n désigne un entier naturel. Montrer que n(n2 + 5) est :
1. pair.
2. divisible par 3.
Exercice 3 : Un peu de congruences
1. Déterminer tous les entiers naturels n tels que 3n ≡ 1[10].
2. Quel est le chiffre des unités de N1 = 31029 ?
3. Quel est le chiffre des unités de N2 = 3732531 + 2353190 ?
Exercice 4 : Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la
réponse choisie.
Proposition 1 : 112011 ≡ 4[7]
Proposition 2 : x2 + x + 3 ≡ 0[5] ⇐⇒ x ≡ 1[5]
Devoir maison pour la rentrée
Exercice 1 :
Montrer que, pour tout n ∈ N, 52n − 4n est divisible par 7.
1. En utilisant les congruences.
2. Par récurrence. (On pourra exprimer Un+1 en fonction de Un où Un = 52n − 4n ).
Exercice 2 :
1. Soit x un entier qui s’écrit en base 10, x = an . . . a2 a1 a0 (Les ai sont les chiffres, 0 ≤ ai ≤ 9 et an 6= 0.)
(a) Établir que, pour tout k ∈ N : 10k ≡ (−1)k [11].
(b) En déduire que : x ≡ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . )[11].
(c) Énoncer alors un critère de divisibilité par 11.
2. Application
Déterminer, pour chacun des entiers suivants, le reste de la division euclidienne par 11.
(a) 123 456 789 ;
(b) 10 891 089 ;
(c)
555
. . . 5} ;
| {z
100 chiffres 5
(d) 147 856 103 ;
(e) 975 318 642 097 531 ;