Probabilités

Probabilités
I.
Variable aléatoire discrète 1. Variable aléatoire discrète Définition ! est l’ensemble fini des issues d’une expérience aléatoire. ! = !! ; !! ; … ; !! Définir une variable aléatoire ! sur !, c’est associer un réel à chaque issue de !. Remarques • En général, une variable aléatoire est notée par une lettre majuscule : ! , ! …. • Si ! est fini, la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs (d’où le nom de variable discrète) • L’ensemble des issues auxquelles on associe à la variable aléatoire ! la même valeur ! est l’événement noté : (! = !) ; sa probabilité sera notée ! (! = !) Exemple On lance deux fois de suite une pièce équilibrée : on note ! si on obtient « Face » et ! si on obtient « Pile ». Les issues de cette expérience sont : (! ; !) , (! ; !) , (! ; !) et (! ; !). Avant de commencer la partie on mise 1 € On gagne 5 € chaque fois que sort « Pile » et on perd 2 € chaque fois que sort « Face ». On définit une variable aléatoire ! , qui associe à chaque événement associe le gain obtenu. Déterminons le nombre de valeurs que peut prendre la variable aléatoire. Si « Pile » sort deux fois : ! = 5 + 5 − 1 = 9 (le −1 correspond à la mise de départ) Si « Face » sort deux fois : ! = −2 − 2 − 1 = −5 Si « Pile » sort une fois et Face sort une fois : ! = 5 − 2 − 1 = 2 La variable aléatoire X prend donc trois valeurs : ! ; −! !" ! L’événement (! = !) correspond à l’issue (! ; !) L’événement (! = −!) correspond à l’issue (! ; !) L’événement (! = !) correspond aux issues (! ; !) et (! ; !) 2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire ! , c’est associer à chaque valeur !! prise par !, la probabilité de l’événement ! = !! Exemple En reprenant l’exercice précédent, définir une loi de probabilité de !, c’est déterminer les probabilités : ! ! = ! ; ! ! = −! !" !(! = !) On sait que les 4 issues (! ; !) , (! ; !) , (! ; !) et (! ; !) sont équiprobables ; chacune a pour probabilité : 1
4
!
! ! = ! = ! (!; !) = !
1
! ! = −5 = ! ! ; ! = 4
1 1 1
! ! = 2 = ! ! ; ! + ! ! ; ! = + = 4 4 2
On vérifie bien que ! ! = ! + ! ! = −! + ! ! = ! = ! 3. Espérance d’une variable aléatoire Définition ! est une variable aléatoire discrète définie sur ! qui prend les valeurs !! , !! , … , !! L’espérance de la variable aléatoire ! est le nombre réel, noté ! (!), tel que : ! ! = !! ×! ! = !! + !! ×! ! = !! + ⋯ + !! ×!(! = !! ) Exemple Toujours en reprenant l’exemple précédent : ! ! = 9×! ! = 9 − 5×! ! = −5 + 2×! ! = 2 1
1
1
! ! = 9× − 5× + 2× = 2 4
4
2
Signification : En jouant un grand nombre de fois à ce jeu, un joueur peut espérer gagner 2€ par partie Vocabulaire Si ! (!) = 0 , on parle de jeu équitable. Si ! (!) < 0, on dira que le jeu est défavorable au joueur. Si ! (!) > 0, on dira que le jeu est favorable au joueur. II.
Répétition d’expériences identiques indépendantes Il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois. Ces expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque l’issue de l’une, ne dépend pas de l’issue des autres expériences. Exemple Une urne est composée de 3 boules noires et 2 boules blanches. 1er cas : Avec remise On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l’urne. On recommence cette expérience. Ces deux expériences sont identiques et indépendantes : avant chaque tirage la composition de l’urne est la même. 2ème cas : Sans remise On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, mais on ne remet pas la boule dans l’urne. On recommence l’expérience. Ces deux expériences ne sont pas indépendantes : au 2ème tirage, la composition de l’urne est différente suivant la couleur de 1ère boule tirée. On s’intéresse aux expériences aléatoires constituées de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes. Exemple Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires. On tire successivement deux boules avec remise. L’expérience est donc bien constituée de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes. Représentons cette situation par un arbre pondéré : Chaque issue est un couple formé par les résultats des deux tirages. La probabilité de chaque issue est le produit des probabilités de chacun des résultats formant l’issue. 4 4 16
! !; ! = × =
≈ 0,2 9 9 81
3 2
6
! !; ! = !(! ; !) = × =
≈ 0,07 9 9 81
• Soit ! l’événement : « Tirer une boule noire et une boule verte » Calculer la probabilité ! (!). 6
6
12
! ! = ! ! ; ! + ! ! ; ! =
+
=
≈ 0,15 81 81 81
• Soit ! la variable aléatoire qui prend comme valeurs le nombre de boules rouges à la suite des deux tirages. Déterminer la loi de probabilité de ! . ! prend les valeurs : 0 ; 1 et 2 En effet à la fin des deux tirages, soit on a tiré 0 boule rouge, 1 boule rouge ou 2 boules rouges. L’événement (! = 0) est constitué des issues : (! ; !) , (! ; !) , (! ; !) et (! ; !) 3 3 3 2 2 3 2 2 25
! ! = 0 = × + × + × + × = 9 9 9 9 9 9 9 9 81
L’événement (! = 2) est constitué de l’issue (! ; !) 4 4 16
! ! = 2 = × = 9 9 81
Pour déterminer ! (! = 1) il suffit de calculer : 25 16 40
! ! =1 =1−! ! =0 −! ! =2 =1−
−
= 81 81 81
• Imaginons que l’on tire successivement 10 boules avec remise. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 10 boules rouges. !
A chaque tirage la probabilité d’obtenir une boule rouge est . !
La probabilité de l’événement (! ; ! ; ! ; ! ; ! ; ! ; ! ; ! ; ! ; !) est : 4 4
4
4 !"
× × … …× =
≈ 0,0003 9 9
9
9