Nombres premiers

Nombres premiers
Marc de Crisenoy
Les parties II et III sont indépendantes.
I] Généralités.
Déf. 1. Un nombre premier est un entier naturel p ≥ 2 vérifiant:
∀x ∈ N∗ (x|p =⇒ (x = 1 ou x = p)).
Ex. 2. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23 sont des nombres premiers.
Rq. 3. Soit p ∈ N. On suppose que p ≥ 2. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) p est premier, ii) ∀x, y ∈ N∗ (xy = p =⇒ (x = 1 ou y = 1)).
Exo. 4. Soit p ∈ N. On suppose que p ≥ 2. Montrer que les assertions suivantes sont
équivalentes: i) p est premier, ii) ∀x ∈ N∗ ((x|p et x2 ≤ p) =⇒ x = 1).
Lemme 5. Soit p ∈ N. On suppose que p ≥ 2. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) p est un nombre premier, ii) Div(p) ∩ N = {1, p}, iii) Div(p) = {−1, 1, −p, p}.
Notation 6. On note P l’ensemble des nombres premiers.
Rq. 7. Soient p, q ∈ P. On suppose que p 6= q. Alors p et q sont premiers entre eux.
Prop. 8. Soient n ∈ Z et p ∈ P. Alors p est premier avec n ssi p - n.
Cor. 9. Soient a, b ∈ Z et p ∈ P. On suppose que p|ab. Alors p|a ou p|b.
Plus généralement:
Cor. 10. Soit k ∈ N∗ . Soient a1 , . . . , ak ∈ Z. Soit p ∈ P.
On suppose que p|a1 . . . ak . Alors il existe i ∈ {1, . . . , k} tel que p|ai .
Cor. 11. Soient k ∈ N∗ , a ∈ Z et p ∈ P. On suppose que p|ak . Alors p|a.
Théo. 12. Soit n ∈ Z. On suppose que n ∈
/ {−1, 1}.
Alors n possède un diviseur premier.
Indication de preuve. Considérer D = {y ∈ N | y ≥ 2 et y|n}. Montrer que D possède
un plus petit élément (pour l’ordre usuel de N). On le note p. Montrer que p est premier.
Cor. 13. Soient u, v ∈ Z. Alors u et v sont premiers entre eux ssi il n’existe pas de nombre
premier les divisant tous les deux.
Plus généralement:
1
Cor. 14. Soit k ∈ N∗ . Soient u1 , . . . , uk ∈ Z. Alors u1 , . . . , uk sont premiers entre eux
dans leur ensemble ssi il n’existe pas de nombre premier les divisant tous.
Théo. 15. P est infini.
Indication de preuve. Par l’absurde, supposer que P est fini. Considérer 1 +
Y
p.
p∈P
II] Décompositions en produit de nombres premiers.
1) Des faits combinatoires très simples.
Les résultats qui suivent sont valables dans des contextes généraux, mais nous nous contentons
de les énoncer dans celui dont nous avons besoin.
a) Un lemme de classement.
Lemme 16. Soit r ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xr ∈ Z.
Alors il existe une permutation τ de {1, . . . , r} telle que xτ (1) ≤ . . . ≤ xτ (r) .
b) Un lemme de regroupement.
Lemme 17. Soient I et J deux ensembles finis non vides.
Soit (ai )i∈I une famille d’entiers relatifs indexée par I.
Soit (bj )j∈J une famille d’entiers relatifs indexée par J. On suppose cette famille injective.
On suppose que ∀i ∈ I ∃j ∈ J bj = ai et que ∀j ∈ J ∃i ∈ I ai = bj .
Y m
Y
bj j .
ai =
Alors il existe une famille d’entiers naturels non nuls (mj )j∈J telle que
i∈I
j∈J
Indications.
Pour tout j ∈ J, on note Ej = {i ∈ I | ai = bj }. Vérifier que (Ej )j∈J est une partition de I.
Pour tout j ∈ J, on note mj le cardinal de Ej . Conclure.
Cor. 18. Soient I et J deux ensembles finis non vides.
Soit (ai )i∈I une famille d’entiers relatifs indexée par I.
Soit (bj )j∈J une famille d’entiers relatifs indexée par J.
On suppose que ∀i ∈ I ∃j ∈ J bj = ai .
Y
Y m
Alors il existe une famille d’entiers naturels (mj )j∈J telle que
ai =
bj j .
i∈I
j∈J
Indication.
Justifier qu’il existe J 0 ⊂ J tel que (bj )j∈J 0 soit injective et d’image égale à celle de (ai )i∈I .
2) Existence de décompositions en produit de nombres premiers.
Théo. 19. Soit n ∈ Z. On suppose que n ≥ 2.
Alors il existe k ∈ N∗ et p1 , . . . , pk ∈ P tels que n = p1 . . . pk .
Indication de preuve: faire une récurrence ”forte”.
Cor. 20. Soit n ∈ Z. On suppose que n ≥ 2.
2
Alors il existe k ∈ N∗ et p1 , . . . , pk ∈ P vérifiant p1 ≤ . . . ≤ pk tels que n = p1 . . . pk .
Cor. 21. Soit n ∈ Z. On suppose que n ≥ 2. Alors il existe ` ∈ N∗ , q1 , . . . , q` ∈ P
deux à deux distincts et m1 , . . . , m` ∈ N∗ tels que n = q1m1 . . . q`m` .
Indications.
Il existe k ∈ N∗ et p1 , . . . , pk ∈ P tels que n = p1 . . . pk . On note ` le cardinal de {p1 , . . . , pk }.
Soient q1 , . . . , q` tels que {q1 , . . . , q` } = {p1 , . . . , pk }. q1 , . . . , q` sont deux à deux distincts.
Cor. 22. Soit n ∈ Z. On suppose que n ≥ 2.
Alors il existe ` ∈ N∗ , q1 , . . . , q` ∈ P vérifiant q1 < . . . < q` et m1 , . . . , m` ∈ N∗ tels que
n = q1m1 . . . q`m` .
3) Unicité dans les décompositions en produit de nombres premiers.
Notation 23. Soit m ∈ Z. On note DivP (m) l’ensemble des diviseurs premiers de m.
Lemme 24. Soit m ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que m = p1 . . . pk .
Alors DivP (m) = {p1 , . . . , pk }.
Théo. 25.
Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que p1 ≤ . . . ≤ pk .
Soit ` ∈ N∗ . Soient q1 , . . . , q` ∈ P. On suppose que q1 ≤ . . . ≤ q` .
On suppose que p1 . . . pk = q1 . . . q` . Alors k = ` et ∀i ∈ {1, . . . , k} pi = qi .
Indications. Par récurrence sur k. Supposer l’assertion vraie au rang k. Pour montrer l’assertion
au rang k + 1, commencer par montrer que pk+1 = q` .
Cor. 26. Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. Soit ` ∈ N∗ . Soient q1 , . . . , q` ∈ P.
On suppose que p1 . . . pk = q1 . . . q` .
Alors k = ` et il existe une permutation σ de {1, . . . , k} telle que ∀i ∈ {1, . . . , k} pi = qσ(i) .
Indication.
Utiliser deux fois le lemme de classement.
Lemme 27. Soit m ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. Soient m1 , . . . , mk ∈ N.
mk
1
On suppose que m = pm
1 . . . pk .
a) On suppose que m1 , . . . , mk ≥ 1. Alors DivP (m) = {p1 , . . . , pk }.
b) DivP (m) ⊂ {p1 , . . . , pk }.
c) On suppose que p1 , . . . , pk sont distincts deux à deux. Alors pour tout i ∈ {1, . . . , k}, on a:
pi ∈ DivP (m) ⇐⇒ mi ≥ 1.
Indication.
c) sens =⇒. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Montrer que (mi = 0 =⇒ pi ∈
/ DivP (m)).
Théo. 28. Soient m, n ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P.
On suppose que p1 , . . . , pk sont distincts deux à deux. Soient m1 , . . . , mk ∈ N et n1 , . . . , nk ∈ N.
mk
1
On suppose que m = pm
et que n = pn1 1 . . . pnk k . Alors:
1 . . . pk
1)a) m|n ssi ∀i ∈ {1, . . . , k} mi ≤ ni , b) m = n ssi ∀i ∈ {1, . . . , k} mi = ni ,
3
2) m et n sont premiers entre eux ssi ∀i ∈ {1, . . . , k} mi = 0 ou ni = 0.
Indications.
1)a) sens =⇒. Il existe q ∈ Z tel que n = mq. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Raisonner par l’absurde
(supposer que mi > ni ), simplifier par pni i , obtenir une contradiction.
2) Montrer par double implication que m et n ne sont pas premiers entre eux ssi il existe
i ∈ {1, . . . , k} tel que mi ≥ 1 et ni ≥ 1. Puis conclure.
Cor. 29.
Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que p1 < . . . < pk . Soient m1 , . . . , mk ∈ N∗ .
Soit ` ∈ N∗ . Soient q1 , . . . , q` ∈ P. On suppose que q1 < . . . < q` . Soient n1 , . . . , n` ∈ N∗ .
n`
mk
n1
1
On suppose que pm
1 . . . pk = q 1 . . . q` .
Alors k = ` et ∀i ∈ {1, . . . , k} pi = qi et mi = ni .
Indications.
Montrer que {p1 , . . . , pk } = {q1 , . . . , q` }. En déduire que k = ` et que ∀i ∈ {1, . . . , k} pi = qi .
Conclure.
Cor. 30.
Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que p1 , . . . , pk sont distincts deux à deux.
Soient m1 , . . . , mk ∈ N∗ .
Soit ` ∈ N∗ . Soient q1 , . . . , q` ∈ P. On suppose que q1 , . . . , q` sont distincts deux à deux.
Soient n1 , . . . , n` ∈ N∗ .
mk
n`
n1
1
On suppose que pm
1 . . . pk = q 1 . . . q` .
Alors k = ` et il existe une unique permutation σ de {1, . . . , k} telle que ∀i ∈ {1, . . . , k} pi =
qσ(i) et mi = nσ(i) .
Indication.
Utiliser deux fois le lemme de classement.
4) Décomposition en facteurs premiers des diviseurs, pgcd et ppcm.
Prop. 31. Soit n ∈ N∗ . Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que p1 , . . . , pk
sont distincts deux à deux. Soient n1 , . . . , nk ∈ N. On suppose que n = pn1 1 . . . pnk k . Alors:
a) ∀(d1 , . . . , dk ) ∈ {0, . . . , n1 } × . . . × {0, . . . , nk } pd11 . . . pdkk |n,
b) ∀d ∈ Div(n) ∩ N∗ ∃!(d1 , . . . , dk ) ∈ {0, . . . , n1 } × . . . × {0, . . . , nk } tq d = pd11 . . . pdkk ,
c) l’application de {0, . . . , n1 } × . . . × {0, . . . , nk } dans Div(n) ∩ N∗ qui à (d1 , . . . , dk ) associe
pd11 . . . pdkk est une bijection,
d) n a exactement (n1 + 1) . . . (nk + 1) diviseurs entiers naturels.
Indications.
b) Soit d ∈ Div(n) ∩ N∗ . Si d = 1, le résultat est clair. On suppose que d ≥ 2.
i) Justifier que DivP (d) ⊂ {p1 , . . . , pk }.
ii) Justifier qu’il existe ` ∈ N∗ et q1 , . . . , q` ∈ P tels que d = q1 . . . q` .
iii) {q1 , . . . , q` } ⊂ {p1 , . . . , pk } donc (par regroupement) il existe d1 , . . . , dk ∈ N tels que
d = pd11 . . . pdkk .
iv) Justifier que ∀i ∈ {1, . . . , k} di ≤ ni .
Cor. 32. Soient m, n ∈ N∗ .
4
Soit k ∈ N∗ . Soient p1 , . . . , pk ∈ P. On suppose que p1 , . . . , pk sont distincts deux à deux.
Soient m1 , . . . , mk ∈ N et n1 , . . . , nk ∈ N.
mk
1
et que n = pn1 1 . . . pnk k .
On suppose que m = pm
1 . . . pk
k
k
Y
Y
min{mi ,ni }
max{mi ,ni }
Alors: a) m ∧ n =
pi
, b) m ∨ n =
pi
.
i=1
i=1
III] Valuation p-adique.
La valuation p-adique est un outil très puissant, qui contient l’existence et l’unicité de la
décomposition en facteurs premiers.
Lemme 33. Soit n ∈ Z \ {0}. Soit d ∈ Z \ {−1, 0, 1}. On note E = {k ∈ N | dk |n}.
Alors E possède un plus grand élément (pour l’ordre usuel de N); il est unique, on le note v.
i) dv |n, ii) ∀k ∈ N (dk |n ⇐⇒ k ≤ v), iii) E = {0, . . . , v}, iv) d|n ssi v ≥ 1.
iv) Il existe un et un seul k ∈ N tel que dk |n et dk+1 - n, c’est v.
v) Notons q le quotient de n par dv . On a n = dv q et d - q.
De plus ∀(k, n0 ) ∈ N × Z (n = dk n0 et d - n0 ) =⇒ (k, n0 ) = (v, q) .
Indications.
Pour montrer que E est majoré, on peut observer que |d| ≥ 2 et se souvenir que ∀k ∈ N 2k ≥ k.
Déf. et notation 34. Soit p un nombre premier.
a) Soit n ∈ Z \ {0}. On appelle valuation p-adique de n, et l’on note vp (n), le plus grand
élément de {k ∈ N | dk |n}.
b) Le a) permet de définir une application vp : Z \ {0} → N, on l’appelle la valuation p-adique.
Rq. 35. Soit p un nombre premier. Alors:
a) ∀k ∈ N vp (pk ) = k, b) ∀k ∈ N ∀q ∈ P \ {p} vp (q k ) = 0.
Rq. 36. Soit p un nombre premier. Alors vp (Z \ {0}) = N.
Rq. 37. Soient n ∈ Z \ {0} et p ∈ P. Alors vp (−n) = vp (n).
Prop. 38. Soient m, n ∈ Z \ {0}. Soit p ∈ P. Alors vp (mn) = vp (m) + vp (n).
Plus généralement:
Rq. 39. Soit r ∈ N∗ . Soient n1 , . . . , nr ∈ Z \ {0}. Soit p ∈ P.
Alors vp (n1 . . . nr ) = vp (n1 ) + . . . + vp (nr ).
Rq. 40. Soit r ∈ N. Soit n ∈ Z \ {0}. Soit p ∈ P. Alors vp (nr ) = rvp (n).
Rq. 41. Soit n ∈ N∗ . Alors n = 1 ⇐⇒ ∀p ∈ P vp (n) = 0.
Prop. 42. Soient m, n ∈ Z \ {0}. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) m et n sont premiers entre eux, ii) ∀p ∈ P (vp (m) = 0 ou vp (n) = 0).
Indication.
Montrer l’équivalence des négations.
5
Rq. 43. Soit m ∈ N∗ .
Soit S une partie finieY
de P. Soit (µp )p∈S une famille d’entiers naturels indexée par S.
On suppose que m =
pµ p .
p∈S
Alors ∀p ∈ S vp (m) = µp et ∀p ∈ P \ S vp (m) = 0.
Rq. 44. Soit n ∈ N∗ . Soit S une partie finie de P. Alors
Y
pvp (n) divise n.
p∈S
Indication.
Lemme de Gauss.
Prop. 45. Soit n ∈ N∗ . Soit S une partie finie de P incluant DivP (n). Alors n =
Y
pvp (n) .
p∈S
Indication. Y
On note m =
pvp (n) . On a m|n. Vérifier que ∀p ∈ P vp (m) = vp (n).
p∈S
On note q le quotient de n par m. Montrer que q = 1. Conclure.
Y
Rq. 46. Soit n ∈ N∗ . Il est un peu dangereux d’écrire n =
pvp (n) .
p∈P
∗
Prop. 47. Soient m, n ∈ N . Alors m = n ssi ∀p ∈ P vp (m) = vp (n).
Rq. 48. Soient m, n ∈ Z \ {0}. Alors |m| = |n| ssi ∀p ∈ P vp (m) = vp (n).
Déf. 49. Soit (µp )p∈P une famille d’entiers naturels indexée par P. On dit que (µp )p∈P
est presque nulle si {p ∈ P | µp 6= 0} est fini.
Ex. 50. Soit m ∈ N∗ . Alors (vp (m))p∈P est presque nulle.
Notation 51. On note N(P) l’ensemble des familles d’entiers naturels indexées par P qui
sont presque nulles.
Prop. 52. L’application de N∗ dans N(P) qui à m associe (vp (m))p∈P est une bijection.
Indication pour le caractère surjectif.
Y
Soit (µp )p∈P ∈ N(P) . On note S = {p ∈ P | µp 6= 0}, puis m =
pµp .
p∈S
Prop. 53. Soient m, n ∈ Z \ {0}. Alors m|n ssi ∀p ∈ P vp (m) ≤ vp (n).
Indications pour le sens ⇐=.
Pour tout p ∈ P, on pose αp = vp (n) − vp (m). Vérifier que (αp )p∈P ∈ N(P) .
Prop. 54. Soient m, n ∈ Z \ {0}. Alors:
a) ∀p ∈ P vp (m ∧ n) = min{vp (m), vp (n)}, b) ∀p ∈ P vp (m ∨ n) = max{vp (m), vp (n)}.
Indications.
a) Justifier qu’il existe d ∈ N∗ tel que ∀p ∈ P vp (d) = min{vp (m), vp (n)}.
6
À l’aide de la définition, montrer que d est un pgcd de m et de n.
b) Suivre la même démarche qu’au a).
Ceci permet de retrouver immédiatement le résultat suivant:
Cor. 55. Soient m, n ∈ Z. Alors (m ∨ n)(m ∧ n) = |mn|.
On termine par un résultat qui est le tout début d’une très longue histoire, celle des nombres p-adique . . .
Prop. 56. Soit p un nombre premier. Alors:
∀m, n ∈ Z m, n, m + n 6= 0 =⇒ vp (m + n) ≥ min{vp (m), vp (n)} .
7