MP*: Algèbre linéaire, anneau Z , anneaux de polynômes, algèbre

Z
, anneaux de polynômes,
MP*: Algèbre linéaire, anneau nZ
algèbre
Coralie Renault
8 janvier 2015
Exercice
Soit A une sous algèbre de R[X] engendrée par X 2 et X 3 . Montrer que A n’est pas isomorphe
à R[X].
Exercice
a) Pour (a, n) ∈ Z × N? avec a ∧ n = 1, montrer que aϕ(n) = 1
[n].
!
p
b) Pour p premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}, montrer que p divise
.
k
c) Soit (a, n) ∈ (N? )2 . On suppose que an−1 = 1 [n]. On suppose que pour tout x divisant
n − 1 et différent de n − 1, on a ax 6= 1 [n]. Montrer que n est premier.
Exercice
Soit K une algèbre intègre sur R de dimension finie n > 2. On assimile R à R.1 où 1 est
l’élément de K neutre pour le produit.
a) Montrer que tout élément non nul de K est inversible.
b) Soit a un élément de K non situé dans R. Montrer que la famille (1, a) est libre tandis que
le famille (1, a, a2 ) est liée.
c) Montrer l’existence de i ∈ K tel que i2 = −1.
d) Montrer que si K est commutative alors K est isomorphisme à C.
Exercice
Déterminer les morphismes de groupes entre (Z/nZ, +) et (Z/mZ, +).
Exercice
— Trouver les polynomes P ∈ C[X] tels qu’existent p,q dans N∗ tels que (P 0 )q diviseP q .
Exercice
Soit p un nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ ?
b) On suppose p = 1 [4]. En calculant de deux façons (p − 1)!, justifier que −1 est un carré
dans Z/pZ.
c) On suppose p = 3 [4]. Montrer que −1 n’est pas un carré dans Z/pZ.
1
Exercice
Soient A et B ∈ Mn (R) deux matrices semblables sur C. Montrer que A et B sont semblables
sur R.
Exercice (Matrices de permutation)
Soit n ∈ N\ {0, 1}. Pour σ ∈ Sn , on note
P (σ) = δi,σ(j)
16i,j6n
∈ Mn (R)
appelée matrice de permutation associée à σ.
a) Montrer que
∀(σ, σ 0 ) ∈ S2n , P (σ ◦ σ 0 ) = P (σ)P (σ 0 )
b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn .
c) Vérifier que
t
(P (σ)) = P (σ −1 )
Exercice
— Soit A = (aij ) ∈ Mn (R) avec aii = 0 pour tout i et aij ∈ ±1 pour i 6= j. Si n est pair,
montrer que A est inversible.
— On dispose de 2n + 1 cailloux, n ≥ 1. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n
caillouxpeut se partager en deux paquets de n cailloux de meme masse totale.Montrer
que tout les cailloux ont la meme masse.
Exercice
Soient n ∈ N? et M ∈ Mn (R) définie par

1 1
0

 0 1
1
 . .
.
M =
 .. . . . .

...
 0
1 0 ···
···
..
.
..
.
...
0

0
.. 
. 

0 


1 
1
a) Donner le rang de M et la dimension de son noyau.
b) Préciser noyau et image de M .
c) Calculer M n .
Exercice
Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que :
P ≡ 1(
mod (X − 1)3 ) et P ≡ −1(
2
mod (X + 1)3 )
Exercice
Soient a0 , a1 , . . . , an des réels non nuls deux à deux distincts.
On note Fj l’application de Rn [X] dans R définie par
Z aj
Fj (P ) =
P
0
Montrer que (F0 , F1 , . . . , Fn ) est une base de (Rn [X])? .
Exercice
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E tel que ∀x ∈ E0 , on a (x, u(x)) qui est
une famille liée.
Que dire de u ?
3