Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité

Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 2 (6 points) (candidats ayant suivi
⎛
⎞
⎛
1 1 1
On donne les matrices M = ⎝ 1 −1 1 ⎠ et I = ⎝
4 2 1
l’enseignement de spécialité)
⎞
1 0 0
0 1 0 ⎠.
0 0 1
Partie A
⎛
⎞
20 10 11
1) Déterminer la matrice M 2 . On donne M 3 = ⎝ 12 2 9 ⎠.
42 20 21
2) Vérifier que M 3 = M 2 + 8M + 6I.
3) En déduire que M est inversible et que M −1 =
&
1% 2
M − M − 8I .
6
Partie B. Etude d’un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les
points A(1 ; 1), B(−1 ; −1) et C(2 ; 5).
1) Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que
⎛
⎞ ⎛
⎞
a
1
M ⎝ b ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
c
5
2) Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C. Retour au cas général
Les nombres a, b,
p, q, r( sont des entiers.
' c, −
→ →
−
Dans un repère O, i , j , on considère les points A(1 ; p), B(−1 ; q) et C(2 ; r).
On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y = ax2 + bx + c passant par A, B et C.
⎛
⎞
⎛ ⎞
a
p
1) Démontrer que si ⎝ b ⎠ = M −1 ⎝ q ⎠ avec a, b et c entiers, alors
c
r
⎧
⎨ −3p + q + 2r ≡ 0 [6]
3p − 3q ≡ 0 [6]
⎩
6p + 2q − 2r ≡ 0 [6]
,
q − r ≡ 0 [3]
.
p − q ≡ 0 [2]
⎧
⎨ q − r ≡ 0 [3]
3) Réciproquement, on admet que si
p − q ≡ 0 [2]
, alors il existe trois entiers a, b et c tels que
⎩
A, B, C ne sont pas alignés
la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.
2) En déduire que
a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si 2r + q − 3p = 0.
b) On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe
par les points A, B et C.
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝
Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 2 : corrigé
Partie A
⎛
1 1
1)M 2 = ⎝ 1 −1
4 2
⎞⎛
1
1
1 ⎠⎝ 1
1
4
⎞ ⎛
1 1
6 2
−1 1 ⎠ = ⎝ 4 4
2 1
10 4
⎞
3
1 ⎠.
7
2)
⎞
⎛
6 2 3
1 1 1
M 2 + 8M + 6I = ⎝ 4 4 1 ⎠ + 8 ⎝ 1 −1 1
10 4 7
4 2 1
⎛
⎞ ⎛
6 2 3
8
8 8
= ⎝ 4 4 1 ⎠ + ⎝ 8 −8 8
10 4 7
32 16 8
⎛
= M 3.
⎞
⎛
1
⎠+6⎝ 0
0
⎞ ⎛
6 0
⎠+⎝ 0 6
0 0
⎞
0 0
1 0 ⎠
0 1
⎞ ⎛
⎞
0
20 10 11
0 ⎠ = ⎝ 12 2 9 ⎠
6
42 20 21
3) On en déduit que M 3 − M 2 − 8M = 6I puis que
& 1% 2
&
1% 2
M − M − 8I =
M − M − 8I × M = I.
6
6
%
&
1
M 2 − M − 8I .
Donc la matrice M est inversible et M −1 =
6
M×
Partie B
1) On note P la parabole d’équation y = ax2 + bx + c.
⎧
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 1
a
1
⎨ a+b+c=1
a − b + c = −1 ⇔ ⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ b ⎠ = ⎝ −1 ⎠
A ∈ P, B ∈ P et C ∈ P ⇔
⎩
4a + 2b + c = 5
4 2 1
c
5
⎛
⎞ ⎛
⎞
a
1
⇔ M ⎝ b ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
c
5
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
a
1
a
1
a
1
a
2) Si M ⎝ b ⎠ = ⎝ −1 ⎠, alors M −1 M ⎝ b ⎠ = M −1 ⎝ −1 ⎠ puis ⎝ b ⎠ = M −1 ⎝ −1 ⎠ et si ⎝ b ⎠ =
c
5
c
5
c
5
c
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
a
1
a
1
M −1 ⎝ −1 ⎠, alors M ⎝ b ⎠ = M M −1 ⎝ −1 ⎠ puis M ⎝ b ⎠ = ⎝ −1 ⎠. Finalement,
5
c
5
c
5
⎛
⎛
⎞
⎞
1
a
A ∈ P, B ∈ P et C ∈ P ⇔ ⎝ b ⎠ = M −1 ⎝ −1 ⎠ .
5
c
D’après la question 3) de la partie A,
&
1% 2
M − M − 8I
6 ⎡⎛
⎞ ⎛
6 2 3
1
1 ⎣⎝
4 4 1 ⎠−⎝ 1
=
6
10 4 7
4
⎛
⎞
−3 1
2
1
= ⎝ 3 −3 0 ⎠ .
6
6
2 −2
M −1 =
⎞
⎛
1 1
1
−1 1 ⎠ − 8 ⎝ 0
2 1
0
0
1
0
⎞⎤
0
0 ⎠⎦
1
On en déduit que
⎛
⎛
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
⎞
a
−3 1
2
6
1
1
⎝ b ⎠ = 1 ⎝ 3 −3 0 ⎠ ⎝ −1 ⎠ = 1 ⎝ 6 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ .
6
6
c
6
2 −2
−6
5
−1
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝
Donc, P est la parabole d’équation y = x2 + x − 1.
Partie C
⎛
⎞
⎛
⎞
a
p
3p − 3q
6p + 2q − 2r
−3p + q + 2r
= a,
= b et
= c. On en déduit que
1) Si ⎝ b ⎠ = M −1 ⎝ q ⎠, alors
6
6
6
c
r
−3p + q + 2r 3p − 3q
6p + 2q − 2r
,
et
sont des entiers relatifs ou encore que
6
6
6
⎧
⎨ −3p + q + 2r ≡ 0 [6]
3p − 3q ≡ 0 [6]
⎩
6p + 2q − 2r ≡ 0 [6]
2) D’après la première équation, il existe un entier relatif k tel que −3p + q + 2r = 6k. Mais alors, q + 2r = 3p + 6k
puis
q − r = 3p − 3r + 6k = 3(p − r + 6k).
Puisque p − r + 6k est un entier relatif, ceci montre que q − r ≡ 0
[3].
D’après la première équation, il existe un entier relatif k tel que 3p − 3q = 6k ou encore p − q = 2k. Ceci montre que
p − q ≡ 0 [2]. Ainsi, nécessairement,
.
q − r ≡ 0 [3]
.
p − q ≡ 0 [2]
−−→
3) a) Le vecteur AB a pour coordonnées
/
−2
q−p
0
−→
et le vecteur AC a pour coordonnées
/
1
r−p
0
.
−−→ −→
A, B et C alignés ⇔ AB et AC colinéaires
1
1
1 −2
1 11
⇔ 11
= 0 ⇔ −2r + 2p − q + p = 0
q−p r−p 1
⇔ −2r − q + 3p = 0 ⇔ 2r + q − 3p = 0.
⎧
⎧
⎨ q − r ≡ 0 [3]
⎨ q ≡ 1 [2]
7 − q ≡ 0 [2] ou encore
r ≡ q [3] . Par
b) Si p = 7, q et r sont solutions du problème si et seulement si
⎩
⎩
2r + q ̸= 21
2r + q ̸= 21
−3 × 7 + 1 + 2
3×7−3
exemple, r = q = 1 conviennent. Enfin, si p = 7 et q = r = 1, on obtient a =
= −3,
= 3 et
6
6
6×7+2−2
= 7.
6
La parabole d’équation y = −3x2 + 3x + 7 passe par les points A(1, 7), B(−1, 1) et C(2, 1).
http ://www.maths-france.fr
2
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝