Les mouvements sur la Sphère Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère Définitions: le Petit-Cercle = intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère... Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère Définitions: le Repère Géocentrique La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: Pôle Nord - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - l: la latitude = angle entre le vecteur position du point et le plan équatorial. (r,l,F) -90° ou 270° - f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. 90° (E) ì x = r.cos l.cos f ï P(r, q, f ) = í y = r.cos l.sin f ï z = r.sin l î 0° f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud) Quelques outils Trigonométrie Sphérique Trigonométrie Sphérique Trigonométrie Sphérique Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180° Trigonométrie Sphérique Formule des sinus: sin a sin b sin c = = sin a sin b sin g Trigonométrie Sphérique Formule des cosinus: cosc = cosa.cosb +sin a.sinb.cosg Trigonométrie Sphérique Aire du triangle sphérique e Soit par les angles au sommet: e = a + b +g - p Soit par les longueurs des côtés: tan 2 e s s-a s-b s-c = tan .tan .tan .tan 4 2 2 2 2 avec s = (a + b + c) / 2 Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère. Trigonométrie Sphérique - Applications 1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ? Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km Formule des cosinus: d cosc = cosa.cosb +sin a.sinb.cosg cosd = cos(90° - l1 ).cos(90°- l2 )+sin(90° - l1 ).sin(90°- l2 ).cos(DF) Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Az Az = 41.2° (W) Formule des sinus: sin a sin b sin c = = sin a sin b sin g sin(d) sin(90° - l2 ) = sin(DF) sin(Az) sin(Az) = sin(90° - l2 ) .sin(DF) sin(d) Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie Orthodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html Loxodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html Produit Scalaire r Produit Scalaire Vecteur position a ì a1 = r.cos la cos f a ï í a2 = r.cos la sin fa ï î a3 = r.sin la a = a12 + a2 2 + a3 2 r Produit Scalaire Vecteur position a ì a1 = r.cos la cos f a ï í a2 = r.cos la sin fa ï î a3 = r.sin la a = a12 + a2 2 + a3 2 Vecteur position b ìb1 = r.cos lb cos fb ï íb2 = r.cos lb sin fb ïb = r.sin l î 3 b b = b12 + b22 + b32 r Produit Scalaire Vecteur position a ì a1 = r.cos la cos f a ï í a2 = r.cos la sin fa ï î a3 = r.sin la a = a12 + a2 2 + a3 2 Vecteur position b ìb1 = r.cos lb cos fb ï íb2 = r.cos lb sin fb ïb = r.sin l î 3 b b = b12 + b22 + b32 Produit scalaire a.b a.b = a b cosq a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 d’où: q = arccos{( a1b1 + a2 b2 + a3b3 ) / ( a b )} r Produit Vectoriel Vecteur position a ì a1 = r.cos la cos f a ï í a2 = r.cos la sin fa ï î a3 = r.sin la a = a12 + a2 2 + a3 2 Vecteur position b ìb1 = r.cos lb cos fb ï íb2 = r.cos lb sin fb ïb = r.sin l î 3 b b = b12 + b22 + b32 Produit vectoriel a L b (ou a x b) ìc1 = a2b3 - a3b2 ï a L b = íc 2 = a3b1 - a1b3 ï îc 3 = a1b2 - a2b1 c1 = a2 a3 a1 a3 a1 a2 c2 = c3 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 Déplacement sur la sphère B A Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ? Déplacement sur la sphère Ce mouvement peut-il être rectiligne ? B A ?? Tout déplacement sur une sphère est une rotation B A B A En aucune manière... il s’agit d’une rotation. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B A C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler Remarques: • la rotation d’Euler est une rotation finie • elle décrit le mouvement le plus court de A à B • elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). ?? A B Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z ìcos a ï Cosinus directeurs = ícos b ïcos g î Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z ìcos a ï Cosinus directeurs = ícos b ïcos g î Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z ìcos a = cos l.cos j ï Cosinus directeurs = ícos b = cos l.sin j ïcos g = sin l î Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z lij=cosaij Que l’on peut réécrire: O x y z x’ l11 l12 l13 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 = " " " Y l23 = " " " Z lij=cosaij Que l’on peut réécrire: O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 = " " " Y l23 = " " " Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 = " " " Y l33 = " " " Z lij=cosaij Que l’on peut réécrire: O x’ y’ z’ x l11 l21 l31 y l12 l22 l32 z l13 l23 l33 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 = " " " Y l13 = " " " Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 = " " " Y l23 = " " " Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 = " " " Y l33 = " " " Z Que l’on peut réécrire: O x’ y’ z’ x l11 l21 l31 y l12 l22 l32 z l13 l23 l33 C’est la matrice de transformation [TM] Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): x ' = x.l11 + y.l12 + z.l13 y' = x.l21 + y.l22 + z.l23 z' = x.l31 + y.l32 + z.l33 ou: é x 'ù él11 l12 l13 ù é xù úê ú ê ú ê y' = l l l ê ú ê 21 22 23 ú.ê yú êë z' úû êël31 l32 l33 úû êë z úû ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: él11 l12 l13 ù ê ú [TM ] = êl21 l22 l23 ú êël31 l32 l33 úû él11 l21 l31 ù ê ú [TM ]T = êl12 l22 l32 ú êël13 l23 l33 úû et: P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) é1 0 0ù ê ú T À noter:[TM ] .[TM ] = ê0 1 0 ú êë0 0 1 úû Rotation 2D ì x ' = x. cosq - y.sin q í î y' = x.sin q + y.cosq ou : é x 'ù écosq ê ú=ê ë y'û ësin q -sin q ù é x ù ú. ê ú cosq û ë y û Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rotation 3D – règle du trièdre direct Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ ì x ' = x.cosq - y.sin q ï í y' = x.sin q + y.cosq ï z' = z î ou : é x 'ù écosq ê ú ê ê y'ú = êsin q êë z' úû êë0 -sin q 0 ù é x ù úê ú cosq 0ú. ê y ú 0 1úû êëz úû écosq ê Rz (q ) = êsinq êë0 -sinq 0 ù ú cosq 0ú 0 1úû Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z Rotation 3D à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : é1 0 ê Rx (q ) = ê0 cosq êë0 sinq ù ú - sinq ú cosq úû 0 écosq 0 ê Ry (q ) = ê 0 1 êë-sinq 0 sinq ù ú 0 ú cosq úû écosq ê Rz (q ) = êsinq êë0 -sinq 0 ù ú cosq 0ú 0 1úû Rx(q) tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry(q) tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz(q) tourne l'axe X vers l'axe Y. Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes q Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 1: Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec: - Z’ aligné sur le Pôle d’Euler X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’ Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’) Dans ce repère, le point P a pour coordonnées: é x 'ù él11 l12 l13 ù é xù úê ú ê ú ê y' = l l l ê ú ê 21 22 23 ú.ê yú êë z' úû êël31 l32 l33 úû êë z úû ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) q Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 2: Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q): é x"ù écosq ê ú ê ê y"ú = êsin q êë z" úû êë0 -sin q 0 ù é x 'ù úê ú cosq 0ú.ê y'ú 0 1úû êë z' úû ou: P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’): é x"ù écosq ê ú ê ê y"ú = êsin q êë z' úû êë0 -sin q 0 ù él11 l12 l13 ù é xù úê ú úê cosq 0ú.êl21 l22 l23 ú. ê yú 0 1úû êël31 l32 l33 úû êë z úû q Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 3: Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée: é x '''ù él11 l21 l31 ù é x"ù úê ú ê ú ê y''' = l l l ê ú ê 12 22 32 ú. ê y"ú êë z''' úû êël13 l23 l33 úû êëz" úû Soit: P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) é x '''ù él11 l21 l31 ù écosq úê ê ú ê y''' = l l l ê ú ê 12 22 32 ú. êsinq êë z''' úû êël13 l23 l33 úû êë0 -sinq 0 ù él11 l12 l13 ù é xù úê ú úê cosq 0ú.êl21 l22 l23 ú. ê yú 0 1úû êël31 l32 l33 úû êëz úû q Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs: él11 l21 l31 ù écos q -sin q 0 ù él11 l12 l13 ù ê úê úê ú [RE ] = êl12 l22 l32 ú.êsin q cosq 0 ú.êl21 l22 l23 ú êël13 l23 l33 úû êë0 0 1úû êël31 l32 l33 úû [TM]T Rz(q) [TM] Rotation Eulérienne Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé... 125 Ma ... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!