II Epreuve de Bernoulli

II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre p ».
II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre p ».
Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable.
E(X) =
valeurs xi
σ(X) =
p ( X = xi )
II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre p ».
Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable.
E(X) =
valeurs xi 0
1
σ(X) =
p ( X = xi )
1-p
p
II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre p ».
Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable.
E(X) = Σ ni xi = (1-p) (0) + p (1) = p
valeurs xi 0
1
σ(X) =
p ( X = xi )
1-p p
II Epreuve de Bernoulli
Définition : C’est une ( et une seule, non répétée )
expérience aléatoire,
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs
1 ( Succès ) et 0 ( Echec ).
Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de
Bernoulli de paramètre p ».
Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable.
E(X) = Σ ni xi = (1-p) (0) + p (1) = p
valeurs xi 0
1
p ( X = xi )
1-p p
σ(X) = Σ ni xi² - (E(X))²
=
(1-p) (0²) + p (1²) - p² =
p(1–p)
III Loi binomiale
Définition : On répète n fois une même expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors
P( X = k ) =
III Loi binomiale
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors
P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
III Loi binomiale
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors
P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres …
III Loi binomiale
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ),
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors
P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ).
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec,
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit …
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec,
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec,
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
valeurs xi
p ( X = xi )
0
1
2
3
etc …
n-2
n-1
n
Définition : On répète n fois une expérience aléatoire
à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec,
X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès.
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
valeurs xi = k 0
1 2
3
etc …
n-2
n-1
n
p ( X = xi )
pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
valeurs xi = k 0
1 2
3
etc …
n-2
n-1
n
p ( X = xi )
pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k
On obtient
E(X) =
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
valeurs xi = k 0
1 2
3
etc …
n-2
n-1
n
p ( X = xi )
pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k
On obtient
E(X) = n p
et
σ(X) =
que l’on ne démontrera pas car …
np(1–p)
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p
notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ).
Loi de probabilité de la variable aléatoire :
valeurs xi = k 0
1 2
3
etc …
n-2
n-1
n
p ( X = xi )
pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k
On obtient
E(X) = n p
et
σ(X) =
np(1–p)
que l’on ne démontrera pas car il faut la démontrer pour
toutes les infinités de n possibles.