Page 1/2 TD - chapitre 11 Loi binomiale 1 Répétition d'épreuves de Bernoulli • On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire ayant deux issues possibles et deux seulement. On a coutume d'appeler succès S l'une de ces deux issues, et échec E l'autre issue. • Par exemple, on lance une fois une pièce de monnaie. On peut appeler succès l'obtention de pile, et échec l'obtention de face. • n désigne un entier naturel non nul (en général n ≥ 2). On répète n fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli à deux issues contraires S et E . On peut considérer que tout résultat de ce type d'expérience est une liste ordonnée de n lettres, formée uniquement des lettre S (pour succès) et E (pour échec). On codera chaque résultat par un mot de n lettres ne comportant que des S et que des E . Ainsi la liste SESS comprenant une seule fois la lettre E en deuxième position et partout ailleurs la lettre S signie que l'on a eu un succès au premier essai, suivi d'un échec, et ensuite (n − 2) succès. • 2 Exemple : On lance un dé non pipé cinq fois de suite. Pour un lancer donné, le succès S correspond à la sortie du 6 et l'échec E à la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. Loi binomiale sur un exemple On lance un dé non pipé cinq fois de suite. On note Sk l'événement : obtenir 6 au k-ième lancer et Ek l'événement contraire de Sk . On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où le 6 est sorti lors de ces cinq lancers. Autrement dit, X compte le nombre de succès. 1. Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ 5. Donner P (Sk ) et P (Ek ). 2. Calculer la probabilité d'obtenir : (a) le 6 au premier essai, et aucun 6 aux quatre lancers suivants. (b) une seule fois 6 au dernier essai. (c) un 6 et un seul au cours des cinq lancers. (d) aucun 6. (e) au moins un 6. 3. On se propose de calculer P (X = 2). (a) Calculer la probabilité de l'événement élémentaire SEESE en remarquant que {SEESE} = S1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ S4 ∩ E5 (b) De combien de tels événements élémentaires équiprobables, l'événement (X = 2) est-il la réunion ? (c) En déduire la valeur de P (X = 2). 4. Procéder de la même manière pour calculer P (X = 3), P (X = 4) et enn P (X = 5). Page 2/2 TD - chapitre 11 3 Loi binomiale dans le cas général On considère une épreuve de Bernoulli à deux issues contraires : le succès S et l'échec E . On désigne par p la probabilité du succès S , 0 ≤ p ≤ 1. Soit n ∈ N∗ . On répète n fois dans des conditions identiques et indépendantes cette même épreuve de Bernoulli. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus au cours de ces n épreuves indépendantes. On cherche à déterminer la loi de probabilité de X . 1. Quelle est la probabilité de l'échec pour une épreuve de Bernoulli donnée ? 2. Quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre X ? 3. On rappelle que tout résultat de cette expérience peut être codé par un mot de n lettres, formé uniquement de S et de E . Soit k un entier xé tel que 0 ≤ k ≤ n. On se propose de calculer P (X = k). (a) De combien de façons diérentes peut-on placer k lettres S dans un mot de n lettres constitué uniquement de S et de E ? (b) Calculer la probabilité d'obtenir le mot SS · · · SEE · · · E formée de k lettres S consécutives, suivies de n − k lettres E . (c) En déduire l'expression de P (X = k) en fonction de n, de p et de k. On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, que l'on note B(n; p). 4. À l'aide de la formule du binôme, vérier que : n X P (X = k) = 1 k=0 4 Calcul de l'espérance mathématique Soit X une variable aléatoire dénie sur un univers Ω. On suppose que X suit la loi binomiale B(n; p) de paramètres n et p où n ∈ N∗ et p ∈ [0; 1]. 1. Vérier que pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, on a : n−1 n =n k k−1 k 2. Démontrer que E(X) = np.