Notes de Cours 4

Lois discrètes usuelles
Nous allons dans ce chapitre introduire un certain nombre de lois importantes utilisées dans de nombreuses
situations probabilistes.
I
Compléments
Comme nous allons avoir besoin de considérer des cas où les variables aléatoires sont à valeurs dans un
ensemble infini, nous devrons étendre la définition de probabilité que nous avons donnée jusque là.
En effet, supposons par exemple que X soit une variable aléatoire à valeurs dans IN . Il peut être alors naturel
∞
[
de vouloir considérer l’évenement (X ≥ 20) ; mais (X ≥ 20) =
(X = k) : cette réunion est disjointe mais
k=20
infinie ce qui fait que nous ne pouvons pas utiliser notre définition initiale de la probabilité pour la calculer.
D’où la définition suivante
Définition 1 On appelle probabilité une fonction P : P(Ω) → [0, 1] telle que
(i) P (Ω) = 1
(ii) Si (An )n≥0 est une suite d’événements disjoints (c’est-à-dire Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j),
P(
∞
[
Ak ) =
∞
X
P (Ak ).
k=0
k=0
Remarque : Il faut donc comprendre dans la propriété (ii) que P (
convergente
∞
X
∞
[
Ak ) est égal à la somme de la série
k=0
P (Ak )
k=0
Nous ajouterons
Proposition 1 Soit P une probabilité sur Ω.
(i) Si (An )n≥0 est une suite d’événements croissante (c’est-à-dire An ⊂ An+1 , ∀n)
P(
∞
[
k=0
Ak ) = lim ↑ P (Ak )
k→+∞
(ii) Si (Bn )n≥0 est une suite d’événements décroissante (c’est-à-dire Bn+1 ⊂ Bn , ∀n)
P(
∞
\
k=0
Bk ) = lim ↓ P (Bk )
k→+∞
Il nous faut aussi prolonger la définition de l’espérance (et des moments). Pour l’instant, nous nous contenterons de le faire pour une variable aléatoire à valeurs dans IN .
Définition 2 Soit X une v.a.r. à valeurs dans IN . Si la série de terme général nP (X = n) est convergente, on
pose
∞
X
E(X) =
nP (X = n).
n=0
1
Avec cette définition, on peut démontrer que les propriétés déjà obtenues pour l’espérance sont conservées,
en particulier :
Propriété 1 Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans IN admettant une espérance. Alors, X +Y
admet une espérance et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
II
II.1
Botanique des lois discrètes
Loi de Bernoulli
Commençons par regarder les variables qui vont nous servir de “briques de base” pour construire les diverses
lois. Le cas le plus simple est celui où on a une alternative entre deux valeurs.
Définition 3 On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli si elle est à valeurs dans {0, 1}. Le
réel p = P (X = 1) est dit le paramètre de la loi. On notera X ∼ B(p).
Propriété 2 Si X ∼ B(p), on a
(i) E(X) = p
(ii) Var(X) = p(1 − p)
II.2
Loi binomiale
Définition 4 Soient X1 , . . . , Xn , n variables aléatoires indépendantes de loi B(p)(0 ≤ p ≤ 1).
On pose S = X1 + . . . + Xn . La loi de S est dite loi binomiale de paramètres n et p. On note S ∼ B(n, p).
Proposition 2 Soit S ∼ B(n, p). Pour tout 0 ≤ k ≤ n, on a
n
pk (1 − p)n−k
P (S = k) =
k
On a les propriétés suivantes
Propriété 3 Si S ∼ B(n, p),
(i) E(S) = np
(ii) Var(S) = np(1 − p)
On peut aussi énoncer
Proposition 3 Si X ∼ B(n, p) et Y ∼ B(m, p) sont deux variables indépendantes, alors X+Y ∼ B(n+m, p).
II.3
Loi de Poisson
Commençons par montrer le lemme suivant
Lemme 1 Soit (pn )n≥0 une suite de réels dans [0, 1] telle que lim npn = λ. Alors, pour tout k ≥ 0,
n→+∞
lim
n→+∞
n
k
pkn (1 − pn )n−k = e−λ
On en tire la définition suivante
2
λk
k!
Définition 5 Une variable aléatoire X à valeurs dans IN suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si pour
k
tout k ∈ IN , on a P (X = k) = e−λ λk! . On note X ∼ P(λ).
La loi de Poisson apparaît donc comme une asymptotique de la loi binomiale. Cette notion sera précisée plus
tard.
On a
Propriété 4 Si X ∼ P(λ), E(X) = Var(X) = λ.
Enonçons aussi
Proposition 4 Si X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ) sont deux variables aléatoires indépendantes,
X + Y ∼ P(λ + µ).
II.4
Loi géométrique
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi B(p), 0 ≤ p ≤ 1.
On considère T le premier “instant” où dans la suite (Xn )n≥1 apparaît un “1”. On a donc T = inf{n ≥
1, Xn = 1} (par convention T = +∞ si l’ensemble dont on prend l’infimum est vide).
On a alors
Proposition 5 Sous les conditions précédentes, on a
(i) Si k ∈ IN ∗ , P (T = k) = p(1 − p)k−1
(ii) P (T = +∞) = 0
On pose alors
Définition 6 On dit qu’une variable aléatoire T à valeurs dans IN suit une loi géométrique de paramètre p si
∀k ∈ IN ∗ , P (T = k) = p(1 − p)k−1 .
On écrit T ∼ G(p).
On a
Proposition 6 Soit T ∼ G(p). Alors
(i) E(T ) = p1
(ii) Var(T ) =
1−p
p2
3