π/2

MATH 5108
Réalisé par GHADA YOUNES
Centre L’Escale
2010
1
Les fonctions
Trigonométriques
( 2 de 4)
Les graphiques
Rôle des paramètres
a, b, h et k
dans l'équation canonique:
f(x) = a sin b (x-h) +k
3
La fonction de base sinus:
f (x) = sin x
4
Graphique
sin x
1
a=1
-2π
-3π/2
-π -π/2
π/2 π
3π/2
2π
x
-1
Période:
p = 2π
5
Rôle du paramètre a
a>0: modifie l'amplitude de la fonction
a<0: un a négatif produit une réflexion par
rapport à l'axe des “x”
6
a>1
sinx
f(x) = 1,5 sinx
1,5
1
-2π -3π/2
-π -π/2
π/2 π
3π/2
2π
x
-1
-1,5
7
0<a<1
sin x
f(x) = 0,5 sinx
1
0,5
x
-2π -3π/2 -π
-π/2
π/2 π
-0,5
3π/2
2π
-1
8
a<0
ex: a = -1,5
sin x
f(x) = -1,5 sinx
1,5
-2π
-3π/2
-π -π/2
π/2 π
3π/2
2π
x
-1,5
g(x) = 1,5 sinx
9
Rôle du paramètre b
1 - Modifie la période de la fonction
2 - Un b négatif provoque une réflexion
par rapport à l'axe des y dans la
fonction sin
10
La période est inversement
proportionnelle au paramètre b.
formule: I b I= 2π/p
11
Calcul de b:
pour (p
= π)
pour (p
= 4 π)
• calcul: IbI = 2π /π
IbI = 2
• calcul: IbI = 2π /4π
IbI = ½ OU 0,5
• Équation: f(x) = sin2x
• Équation: f(x) = sin(x/2)
12
b >1
ex: b =2
f(x) = sin2x
sin x
P=π
1
-π
-π/2
π/2
π
2π
x
g(x) =sinx
-1
P = 2π
13
b<1
ex :b =1/2
P = 4π
sinx
f(x) = sin x/2
1
-4π
-2π
-π -π/2
π/2
π
2π
4π
x
-1
14
b<0
ex: b = -1/2
sin x
g(x) = sin x/2
1
-4π
f(x) = sin ( - x/2)
2π
-2π
4π
x
-1
15
Rôle du paramètre h
Le déphasage
h < 0: f(x) subit une translation horizontale
vers la gauche de h
h > 0: f(x) subit une translation horizontale
vers la droite de h
16
h>0
ex: Le déphasage h = +π/2
sin x
f(x) = sin(x-π/2)
1
-2π -3π/2
g(x) =sinx
-π/2
0
π/2 3π/2
2π 5π/2
x
-1
π/2
17
h<0
ex: Le déphasage h = - π/2
sin x
-π/2
1
f(x) =sin(x+π/2)
-5π/2
-2π -3π/2
-π/2
0
x
π/2
3π/2
2π
g(x) =sinx
-1
18
Rôle du paramètre k
k provoque une translation verticale de la fonction
k<0: déplacement vers le bas de k.
k>0: déplacement vers le haut de k.
19
Si k = -1
sinx
1
-2π
-3π/2
-π/2
π/2
π
3π/2
2π
x
K =-1
-1
20
Donc,
5 étapes à suivre
Pour tracer un graphique:
21
1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k
ou
y = a cos b(x-h)+k
2- Trouver p, a, h et k
translation: T (h, k)
3- Tracer y = sin x ou y = cos x
4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)
5- Vérifier les signes pour la réflexion
22
Applications
23
Tracer la fonction:
f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1
24
Trouver les valeurs de:
p, a, h et k
25
π/2 + 1
1,5 sin22 (x+π/2)
f(x) = 1,5
h = -π/2
a=1,5
k=1
b=2
déplacement horizontal
un allongement
vertical
de π/2 vers la gauche
P = 2 π/ IbI
P= 2 π/2 = π
déplacement vertical de +1
vers le haut
26
TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x
sinx
1
g(x)=sinx
-2π
-π
-π/2
π/2
π
2π
x
-1
27
Rajouter les paramètres un à un
(dans l'ordre)
28
la période: P = π
f(x) = sin2x
sinx
1
g(x)=sinx
-2π
-π
-π/2
π/2
π
2π
x
-1
29
UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5
f(x) =1,5 sin 2x
sinx
1,5
1
g(x)=sinx
-2π
-π
-π/2
π/2
π
2π
x
-1
-1,5
30
h = -π/2
translation horizontale de π/2 vers la gauche
f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2)
sinx
1,5
1
-2π
-π
-π/2
π/2
π
2π
x
-1
-1,5
31
k=1
translation verticale de 1 vers le haut
f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1
sinx
2,5
1
-2π
-π
π/2
-π/2
π
2π
x
-1
-1,5
32
La fonction de base
cosinus:
f (x) = cos x
33
graphique
cos x
1
a=1
-2π
-3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
x
-1
Période:
P = 2π
34
Applications
35
Tracer la fonction :
f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1
36
Trouver les valeurs de:
p, a, h et k
37
1
1,5 cos22 (x-π/4
f(x) = 1,5
π/4 ) +1
h = π/4
a=1,5
k=1
b=2
déplacement horizontal
un allongement
vertical
de π/4 vers la droite
P = 2π/ IbI
P = 2π/2 = π
déplacement vertical de +1
vers le haut
38
P=π
la période:
cos x
f(x) = cos2 x
1
g(x) = cosx
π
-π/2 -π/4
π/4 π/2 3π/4
2π
3π/2
5π/4
x
7π/4
-1
39
UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5)
f(x) = 1,5 cos 2x
cos x
1,5
g(x) = cos x
x
π/2
-π/2
π
3π/2
2π
-1
-1,5
40
déplacement horizontal de π/4 vers la
droite ( h = π/4)
f(x) =1,5 cos2 (x-π/4)
cos x
1,5
g(x) = cosx
x
-π/2
-π/4
π/4
π/2
π
3π/2
2π
-1
-1,5
41
déplacement vertical de 1 vers le
haut (k = 1)
f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1
cos x
2,5
1,5
1
g(x) = cosx
x
π/2
-π/2
π
3π/2
2π
-1
-1,5
42
La fonction tangente
fonction de base: f(x) = tan x
• La période:
P=
π
I bI = π /P
I bI = π / π = 1
• Les équations des asymptotes
x = n π/2
( n est un entier)
43
Tan x
f(x) = tan x
1
3π/2
-π
-π/2
π/2
0
π
3π/2
x
-1
P=π
44
Applications
Cahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier
Sous-module 08
Pages 309 et 310
Sous-module 09
Pages 302 à 325
45
Je tiens à remercier Mme France Garnier
pour son soutien techno-pédagogique.
46