Temps (min) - Cégep de Lévis

Évolution
à taux constant
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons que dans
certaines situations l’aire sous une courbe peut
représenter une grandeur physique.
Exemple 1.1.1
Le débit est constant, sa représentation
graphique est une droite horizontale.
Le volume de liquide ajouté après 60
minutes est le produit du débit par
l’intervalle de temps écoulé. Cet
intervalle est :
∆t = 60 – 0 = 60 min
et V(60) = 15 L/min  60 min = 900 L
Débit (L/min)
Le réservoir illustré ci-contre contient 500 L
de liquide. L’opérateur ouvre la valve de la
conduite principale pour augmenter le volume
de liquide. L’indicateur de débit donne une
lecture de 15 L/min et l’opérateur referme la
valve après 1 h 40 min.
a) Représenter graphiquement la fonction
débit et calculer le volume de liquide
ajouté dans le réservoir 60 minutes après
l’ouverture de la valve.
∆V
∆t
40
30
20
10
20
∆t
40 60 80
Temps (min)
S
Exemple 1.1.1
b) Construire un modèle décrivant le volume
de liquide dans le réservoir en fonction du
temps et représenter graphiquement ce
modèle.
Le volume de liquide au temps t est le volume
initial plus le volume de liquide ajouté. On a
donc :
V = V0 + ∆V = 15∆t
Le modèle obtenu décrit l’aire sous la
courbe du débit en fonction du
temps t.
V(t)
Volume
(kL)
Débit (L/min)
Dans la situation présente, l’intervalle
de temps est :
∆t = t – 0 = t min
On a donc :
V(t) = 500 L + 15 L/min  t min
= 15 t + 500 L
40
2,0
30
1,5
20
1,0
10
∆V
∆t
0,5
∆t
20 40 60 80
20 40 60 80 100 t
Temps(min)
(min)
Temps
S
Exemple 1.1.2
Position
Vitesse (m)
(m/s)
Un mobile part d’un point fixe O et s’éloigne
vers la droite à une vitesse constante de 0,4 m/s
pendant 5 secondes.
O
∆s
a)b) Représenter
graphiquement
fonction
vitesse
et évaluer
∆s, la
Décrire la position
du mobilelapar
rapport
au point
O en fonction
variation de la position de ce mobile durant les quatre premières
du temps t et représenter graphiquement cette fonction.
secondes.
Lavitesse
position
du mobile
est donnée
par :
La
étant
constante,
la représentation
graphique de la vitesse
en fonction du temps
une droite horizontale.
S
s = s0 +est
v ∆t
La
étant
où v vitesse
= 0,4 m/s
et s0 constante,
= 0 puisque,laà
v(t)
variation
estest
le au
produit
l’instant de
t =la0,position
le mobile
point
s(t)
∆s
2,0
de
vitesse
O.laDe
plus, par
∆t =let temps,
– 0 = t.soit
La:position
∆t
0,8
1,6
est alors : ∆t = 4 – 0 = 4 s
s(t) = 0,4t m
1,2
et ∆s = 0,4 m/s  4 s = 1,6 m
0,4
Graphiquement, cette fonction est un
0,8
segment de droite de pente 0,4 m/s
0,4
passant à l’origine et dont le domaine
1 2 3 4 5 tt
de validité est l’intervalle [0; 5].
1 Temps
2 3 (s) 4 5
∆t
Temps (s)
Exemple 1.1.4
Un réservoir contient initialement 0,5 m3 de
liquide. On ouvre les vannes à pleine capacité et
on diminue graduellement l’ouverture à mesure
que le réservoir se remplit.
À chaque diminution du débit, on a fait la
lecture de l’indicateur de débit et on a obtenu
les données suivantes :
Temps
(min)
0,0
1,2
2,8
3,4
3,8
Débit
(m/min)
1,25
0,75
0,50
0,25
0,00
À l’aide de ces données, estimer le
volume de liquide dans le réservoir et
représenter graphiquement la fonction
décrivant le volume en fonction du
temps t.
Exemple 1.1.4
Temps
(min)
0,0
1,2
2,8
3,4
3,8
Débit
(m/min)
1,5 m3
1,2 m3
0,3 m3
1,25
0,75
0,50
0,25
0,00
La variation du volume de
liquide est donnée par l’aire
sous la courbe du débit
puisque le débit est constant
par intervalle.
V(0) = 0,5 m3
V(1,2) = V(3,4)
V(2,8)
V(3,4)
V(3,8)
V(0) + +
V(1,2)
V(2,8)
∆V|
∆V|
[0;1,2[
[1,2;2,8[
[2,8;3,4[
[3,4;3,8[
= 3,5
0,5
2
3,2
++
0,75
1,25
0,50
0,25
1,6
1,2
0,6
0,4
3 3
= 3,6
2 mm
3,2
3,5
0,1 m3
a = 0,25 m3/min
a = 0 m3/min
a = 0,50 m3/min
a = 0,75 m3/min
a = 1,25 m3/min
S
Conclusion
L’aire sous la courbe d’une grandeur physique peut également
représenter une grandeur physique.
Nous n’avons pas défini de façon stricte ce que l’on entend par
une aire délimitée par une courbe. Nous avons eu recours à une
compréhension intuitive. Nous devrons éventuellement donner
une telle définition en ayant recours à la notion de limite.
Évidemment, les cas les plus intéressants sont ceux pour lesquels la
courbe n’est pas une droite horizontale. C’est-à-dire :
• comment procède-t-on lorsque le débit n’est pas constant ?
• comment procède-t-on lorsque la vitesse n’est pas constante ?
• comment procède-t-on lorsque l’accélération n’est pas constante ?
Nous étudierons ces cas dans une prochaine présentation.