2nde TP05 : Nombre d’or et dichotomie Algobox On rappelle une définition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve, architecte romain au 1er siècle avant notre ère. Sur un segment , est placé un point C délimitant deux segments et . Le nombre d’or est déterminé par une proportion : « Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que de la grande au tout ≫. Le nombre d’or, note φ, est l’inverse de ce rapport. I. Détermination d’une valeur approchée de φ Dans le DM 10 nous avons prouver que le nombre d'or est la solution positive de l'équation . De plus à l'aide de la calculatrice nous avons réussi à trouver que ce nombre était compris entre 1 et 2. Nous allons essayer d'affiner cet encadrement. 1. Principe de dichotomie On a déterminé (en général graphiquement) qu’une fonction s’annulait pour une valeur . On repère (en général graphiquement) un intervalle qui contient , assez petit pour ne pas contenir d’autre solution. L’algorithme va tester dans quelle moitié de l’intervalle se trouve , puis recommencer avec le nouvel intervalle jusqu’à obtenir un encadrement de avec la précision voulue. Grâce à l’algorithme suivant à programmer sous Algobox, encadrée la solution cherchée dans un intervalle d’amplitude en partant des valeurs 1 et 2. On crée les 2 variables a et b de type nombre et on utilise une fonction numérique pour rentrer l’équation . Pour commencer l'algorithme : On sélectionne la ligne puis Variables : a, b, deux nombres réels. Début Définir F1 a prend la valeur 1. b prend la valeur 2. Tant que Pour affecter une valeur à une variable : Si ( ) Alors . Sinon . puis Créer la boucle "Tant que" puis Créer une condition "Si" Fin Si Fin Tant que Afficher a, b. Fin II. Ne pas oublier de cocher Pour afficher les variables Remarque : pour écrire une puissance, exemple : pow(10,-4) donne Détermination de la valeur exacte de φ de façon algébrique 2. Montrer que . 3. En déduire une factorisation de et donc que Le nombre d’or est donc la racine positive de l’équation . , noté