Identités trigonométriques Sylvain Lacroix 2005

Identités trigonométriques
Autres fonctions trigonométriques
Après les fonctions sinus, cosinus et tangente, nous allons voir trois autres types de fonctions.
La fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus :
hypoténuse
1
Sec t =
=
adjacent
cos t
La fonction cosécante est l’inverse de la fonction sinus :
hypoténuse
1
Cosec t =
=
sin t
opposé
La fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente:
adjacent
1
cos t
Cotan t =
=
=
opposé
tan t
sin t
Simplification d’expression algébrique
Sec t =
1
cos t
cosec t =
1
sin t
cotan t =
cos t
sin t
Exemple 1 :
Sin t x cotan t = sin t x
cos t
= cos t
sin t
Exemple 2 :
Sin t x cos t x sec t x cotan t = sin t x cos t x
1
cos t
x
= cos t
cos t sin t
Exemple 3 :
Cos t x cosec t = cos t x
1
= cotan t
sin t
Identités trigonométriques
Il y en a trois.
Première identité de base.
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Identités trigonométriques
Avec Pythagore sin2t + cos2t = 1
Deuxième identité de base.
sin 2 t cos 2 t
1
+
=
tan2t + 1 = sec2t
2
2
2
cos t cos t cos t
Démonstration :
mOF mOA
mOAxmOG 1x1
mOF =
=
=
= sec t
mOG mOC
mOC
cos t
Troisième identité de base.
cosec t
G
sin 2 t cos 2 t
1
+
=
1 + cotan2t = cosec2t
2
2
2
sin t sin t sin t
Démonstration :
mBE mOB
mOBxmOC 1x cos t
=
mBE =
=
= cot ant
mOC mCG
mCG
sin t
mOE mOB
mOBxmOG 1x1
=
mOE =
=
= cos ect
mOG mCG
mCG
sin t
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Trouver les valeurs trigonométriques
À partir d’une valeur trigonométrique et d’un quadrant où se situe le point P(t), on peut
trouver la valeur des autres fonctions trigonométriques.
Exemple : sin t = 1/2 et t e [
π
2
,π ]
1
1
3
3
sin2t + cos2t = 1 cos2t = 1 - sin2t cos t = 1 − ( ) 2 = 1 − ( ) =
=
2
4
4
2
3
car il est dans le deuxième quadrant
2
1
( )
sin t
1
3
Tan t =
= 2 =−
=−
cos t
3
3
3
−( )
2
1
2
1
2 3
=
=−
=−
Sec t =
cos t
3
3
3
−
2
1
1
Cosec t =
=
=2
1
sin t
( )
2
1
3
3 3
Cotan t =
=−
=−
3
3
3
−
3
Donc, cos t = -
Démonstration d’identité trigonométrique
Il suffit de transformer le membre de gauche de l’égalité pour obtenir l’équivalent du membre
de droite.
Exemple 1 :
tan2t - sin2t = sin2t x tan2t
tan2t-sin2t =
sin 2 t
sin 2 t
sin 2 t cos 2 t sin 2 t (1 − cos 2 t ) sin 2 t sin 2 t
2
sin
t
=
=
=
= tan2t*sin2t
2
2
2
2
2
cos t
cos t
cos t
cos t
cos t
Exemple 2 :
Cot2t – cosec2t = -1
Cot2t – cosec2t =
cos 2 t
1
cos 2 t − 1 − sin 2 t
=
=
= -1
sin 2 t sin 2 t
sin 2 t
sin 2 t
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Exemple 3 :
Sec2t + cosec2t =
1
cos t sin 2 t
2
1
1
sin 2 t
cos 2 t
+
=
+
=
cos 2 t
sin 2 t
cos 2 t sin 2 t
cos 2 t sin 2 t
sin 2 t + cos 2 t
1
=
2
2
2
cos t sin t
cos t sin 2 t
Sec2t + cosec2t =
Exemple 4 :
Sec t – cos t = tan t sin t
Sec t – cos t =
(1 − cos 2 t ) sin 2 t sin t sin t
1
-cos t =
=
=
= tan t sin t
cos t
cos t
cos t
cos t
Exemple 5 :
tan2t + sec2t = 2sec2t -1
Rappel : 1 + tan2t = sec2t tan2t = sec2t -1
tan2t + sec2t = sec2t -1 + sec2t = 2sec2t -1
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