FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3
A. Cercle trigonométrique
y
Sin(a)
Définition
M
a
Le cercle trigonométrique est le
cercle C de centre O(0, 0) et de
rayon R = 1 dont l'équation est
−1
O
Cos(a) 1
x
x2 + y2 = 1
Remarque : Le sens de parcours du cercle trigonométrique est le
sens inverse des aiguilles d'une montre (par convention).
B. Fonctions circulaires
1. La fonction sinus
La fonction y = Sin ( x ) est une fonction IMPAIRE de période 2p.
Cette fonction est continue et définie sur
et vérifie les relations :
− 1 ≤ Sin ( x ) ≤ 1
Sin ( − x ) = − Sin ( x )
Sin (π ± x ) = ∓ Sin ( x )
⎛π
⎞
Sin ⎜ ± x ⎟ = Cos ( x )
⎝2
⎠
Sa dérivée qui se déduit par une rotation dans le sens inverse
trigonométrique sur le cercle (sens horloge) est égale à :
( Sin ( x ) ) ' = Cos ( x )
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1
2. La fonction cosinus
La fonction y = Cos ( x ) est une fonction PAIRE de période 2p.
Cette fonction est continue et définie sur
et vérifie les relations :
− 1 ≤ Cos ( x ) ≤ 1
Cos ( − x ) = Cos ( x )
Cos (π ± x ) = −Cos ( x )
⎛π
⎞
Cos ⎜ ± x ⎟ = ∓ Sin ( x )
⎝2
⎠
Sa dérivée qui se déduit par une rotation dans le sens inverse
trigonométrique sur le cercle (sens horloge) est égale à :
( Cos ( x ) ) ' = − Sin ( x )
Remarque : Les fonctions Sinus et Cosinus représentent les
coordonnées du point M appartenant au cercle trigonométrique.
Ces fonctions vérifient la relation suivante :
Cos 2 ( x ) + Sin 2 ( x ) = 1
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2
3. La fonction tangente
La fonction y = Tan ( x ) est une fonction IMPAIRE de période p.
Cette fonction est continue et définie sur
π
⎧
⎫
− ⎨( 2k + 1) , k ∈ ⎬
2
⎩
⎭
et vérifie les relations :
Tan ( − x ) = −Tan ( x )
Tan (π ± x ) = ±Tan ( x )
1
⎛π
⎞
Tan ⎜ ± x ⎟ = ∓
Tan ( x )
⎝2
⎠
Sa dérivée est égale à :
(Tan ( x ) ) ' = Cos1 ( x ) = 1 + Tan ( x )
2
2
4. La fonction cotangente
1
La fonction y = Cotan ( x ) = Tan x est une fonction IMPAIRE de
( )
période p. Cette fonction est continue et définie sur
− {kπ , k ∈ } et vérifie les relations :
Cotan ( − x ) = −Cotan ( x )
Cotan (π ± x ) = ±Cotan ( x )
⎛π
⎞
Cotan ⎜ ± x ⎟ = ∓Tan ( x )
⎝2
⎠
Sa dérivée est égale à :
( Cotan ( x ) ) ' = Sin−1( x ) = − (1 + Cotan ( x ) )
2
2
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3
5. Angles remarquables
π
π
π
6
4
3
0
1
2
2
1
=
2
2
3
2
1
Cos(x)
1
3
2
2
1
=
2
2
1
2
0
Tan(x)
0
1
3
=
3
3
1
x
0
Sin(x)
3
π
∞
C. Fonctions circulaires inverses
1. La fonction arcsinus
y = Arcsin ( x ) ⇔ x = Sin ( y ) avec −1 ≤ x ≤ 1
Cette fonction continue et définie sur [ −1,1] vérifie les relations :
−
π
2
≤ Arcsin ( x ) ≤
π
2
⎧⎪ Arcsin ( x ) + 2nπ
arcsin ( x ) = ⎨
⎪⎩π − Arcsin ( x ) + 2nπ
Sa dérivée est égale à :
( Arcsin ( x ) ) ' =
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1
1 − x2
4
2. La fonction arccosinus
y = Arccos ( x ) ⇔ x = Cos ( y ) avec −1 ≤ x ≤ 1
Cette fonction continue et définie sur [ −1,1] vérifie les relations :
0 ≤ Arccos ( x ) ≤
π
2
⎧⎪ Arccos ( x ) + 2nπ
arccos ( x ) = ⎨
⎪⎩− Arccos ( x ) + 2nπ
Sa dérivée est égale à :
( Arccos ( x ) ) ' = −
1
1 − x2
Remarque :
Les fonctions arcsinus et arccosinus vérifient la relation :
Arccos ( x ) + Arcsin ( x ) =
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π
2
5
3. La fonction arctangente
y = Arctan ( x ) ⇔ x = Tan ( y ) avec x ∈
Cette fonction continue et définie sur
−
π
≤ Arctan ( x ) ≤
vérifie les relations :
π
2
2
arctan ( x ) = Arctan ( x ) + nπ
Sa dérivée est égale à :
( arctan ( x ) ) ' = 1 +1x
2
4. La fonction arcotangente
y = Arccotan ( x ) ⇔ x = Cotan ( y ) avec x ∈
Cette fonction continue et définie sur
vérifie les relations :
0 ≤ Arccotan ( x ) ≤ π
arccotan ( x ) = Arccotan ( x ) + nπ
Sa dérivée est égale à :
( arccotan ( x ) ) ' = 1 +−1x
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2
6
T.D. N°2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
N°1 : Démontrer de deux façons différentes :
Arccos ( x ) + Arcsin ( x ) =
π
2
N°2 : Démontrer de deux façons différentes qu'une primitive de
•
Arcsin ( x ) est xArcsin ( x ) + 1 − x 2
•
Arccos ( x ) est xArccos ( x ) − 1 − x 2
N°3 : Calculs de limites :
lim
x →0
1 − Cos ( x )
Tan ( x )
2
;
lim
x →0
xSin ( x )
1 − Cos ( x )
;
lim
x →−
π
2
1 + Sin ( x )
π⎞
⎛
⎜x+ ⎟
2⎠
⎝
2
;
lim
x→
π
4
Cos ( 2 x )
π⎞
⎛
Sin ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
;
N°4 : Études des fonctions
•
•
•
1
3
y = f ( x ) = Cos ( 3 x ) − Cos ( 2 x )
3
4
y = g ( x ) = Cos 2 ( x ) − Cos ( x )
y = h ( x ) = (1 + Cos ( x ) ) Sin ( x )
⎛ 2x ⎞
N°5 : On considère la fonction f définie par : f ( x ) = Arcsin ⎜
2 ⎟
⎝ 1+ x ⎠
1. Ensemble de définition et parité de f
2. Calculer f ' ( x ) ; quel est l'ensemble de définition de f ' ( x )
Démontrer qu'il existe deux expressions simples de f ' ( x )
suivant l'intervalle auquel x appartient
3. Dresser le tableau de variations de f
4. Utiliser le 2. pour prouver que f peut s'écrire plus
simplement sur chaque intervalle
5. Prouver par une autre méthode que, sur [ −1,1] ,
f ( x ) = 2 Arc tan ( x )
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