Formulaire de géométrie
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Formulaire de géométrie Les formules données sont valables dans le plan. Sauf mention contraire, elles se généralisent sans difficulté à l’espace. 1RWDWLRQV $([ ; \ ), %([ ; \ ), …, 0([ ; \ ) : coordonnées des points $, %, …, 0. & & & & X ([; \), Y ([’ ; \’), … : coordonnées des vecteurs X , Y , … & & Dans un repère (2, L , M ) quelconque &RRUGRQQpHV & & Point : Le point $ a pour couple de coordonnées ([ ; \ ) dans le repère (2, L , M ) si et & & seulement si 2$ = [ L + \ M . & & & Vecteur : Le vecteur X a pour couple de coordonnées ([; \) dans le repère (2, L , M ) si et & & & seulement si X = [ L + \ M . 3URGXLWG¶XQYHFWHXUSDUXQUpHO & & & Pour tous vecteurs X , Y et Z et tous réels D, E et F : & & & & 0X = 0 D0 = 0 & & & & 1X = X D(E X ) = (DE) X & & & & & & & D( X + Y ) = D X + D Y (D + E) X = D X + E X 'pWHUPLQDQW [ [’ & & det( X ; Y ) = = [\’ −\[’ . \ \’ & & & & X et Y sont colinéaires si et seulement si det( X ; Y ) = 0. eTXDWLRQVGHGURLWHV & La droite d’ équation \ = P[ + S passe par le point (0 ; S) et admet X (1 ; P) comme vecteur directeur. Son coefficient directeur est P. & La droite ($%) (non parallèle à l’ axe (2; M )) admet comme coefficient directeur \ −\ P= , et comme « ordonnée à l’ origine » S = \ − P[ = \ − P[ . [ −[ Les droites d’ équations \ = P[ + S et \ = P’ [ + S’ sont parallèles si et seulement si P = P’ . & La droite d’ équation D[ + E\ + F = 0 admet X (−E ; D) comme vecteur directeur. Son D coefficient directeur est − . E Les droites d’ équationsD[ + E\ + F = 0 etD’ [ + E’ \ + F’ = 0 sont parallèles si et seulement si DE’ − ED’ = 0. ©pa2003 & & Dans un repère orthonormé (2, L , M ) 'LVWDQFH $% = ( [ − [ ) 2 + ( \ − \ ) 2 1RUPH & || X || = [ 2 + \ 2 3URGXLWVFDODLUH & & X . Y = [[’ + \\’ & & & & & & X . Y = || X || × || Y || × cos ( X ; Y ) & & 1 & & & & X . Y = (|| X + Y ||2 − || X ||2 − || Y ||2) 2 $% . $& = $% . $+ , où + est le projeté orthogonal de & sur ($%) $% . $& = $. . $& , où . est le projeté orthogonal de % sur ($&) $% . $& = $% × $& × cos(%Æ&) 3URSULpWpVGXSURGXLWVFDODLUH & & & & X et Y sont orthogonaux si et seulement si X . Y = 0 & & & Pour tous vecteurs X , Y et Z et tous réels D, E et F : & & & & & & & & & & & X .Y = Y .X X .( Y + Z ) = X . Y + X . Z & & & & & & (D X ). Y = X .(D Y ) = D × ( X . Y ) & & & & & & & & & & & & ( X + Y )2 = X 2 + 2 X . Y + Y 2 ( X − Y )2 = X 2 − 2 X . Y + Y 2 & & & & & & X + Y ).( X − Y ) = X 2 − Y 2 eTXDWLRQVGHGURLWHV Les droites d’ équations \ = P[ + S et \ = P’ [ + S’ sont perpendiculaires si et seulement si PP’ = −1. Les droites d’ équations D[ + E\ + F = 0 et D’ x + E’ \ + F’ = 0 sont perpendiculaires si et seulement si DD’ + EE’ = 0. eTXDWLRQVGHFHUFOHV Le cercle de centre ([ ; \ ) et de rayon U a pour équation ([ − [ )2 + (\ − \ )2 = U2. 'LVWDQFHG¶XQSRLQWjXQHGURLWH D[ + E\ + F La distance du point 0([;\) à la droite d’ équation D[ + E\ + F = 0 est égale à D 2 + E2 ©pa2003 & & Dans un repère orthonormé direct (2, L , M ) ([SUHVVLRQDQDO\WLTXHG¶XQHURWDWLRQ 0’ ([’ ; \’ ) est l’ image de 0([ ; \) par la rotation de centre 2 et d’ angle α si et seulement si [ ’= cos(α ) [ − sin(α ) \ . \ ’= sin(α ) [ + cos(α ) \ ([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGHODV\PpWULHGHFHQWUHO [ ’= − [ 0’ ([’ ; \’ ) est le symétrique de 0([ ; \) par rapport à 2 si et seulement si . \ ’= − \ ([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGXTXDUWGHWRXUGLUHFW π 0’ ([’ ; \’ ) est l’ image de 0([ ; \) par la rotation de centre 2 et d’ angle si et seulement si 2 [ ’= − \ . \ ’= [ ([SUHVVLRQDQDO\WLTXHGHODUpIOH[LRQGHGURLWHG¶pTXDWLRQ\ [ 0’ ([’ ; \’ ) est l’ image de 0([ ; \) par la réflexion de droite d’ équation \ = [ si et seulement si [ ’= \ . \ ’= [ ©pa2003 Relations métriques La diagonale G d’ un carré de côté F vaut G = 2 F. La hauteur K d’ un triangle équilatéral de côté a vaut K = 3 D. 2 Longueur d’ un arc de cercle de rayon U et d’ angle au centre θ exprimé en radians : O = Uθ. Aire d’ une portion de disque de rayon U et d’ angle au centre θ exprimé θU2 . en radians : $ = 2 7KpRUqPHGH3\WKDJRUH Si $%& est un triangle rectangle, alors le carré de l’ hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’ angle droit. Si $%& est un triangle rectangle en $, alors $%2 + $&2 = %&2. 5pFLSURTXHGXWKpRUqPHGH3\WKDJRUH Si le carré d’ un côté d’ un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, l’ hypoténuse étant le plus long des côtés. Si $%2 + $&2 = %&2, alors $%& est un triangle rectangle en $. )RUPXOHVG¶$O.DVKLWKpRUqPHGH3\WKDJRUHJpQpUDOLVp Dans un triangle $%&, soit D = %&, E = $& et F = $%. Alors D2 = E2 + F2 − 2EFcos(Æ). Relations analogues par permutations des sommets. 7ULJRQRPpWULHGXWULDQJOHUHFWDQJOH Dans un triangle $%& rectangle en $ : $% $& $& cos( %̂ ) = sin( %̂ ) = tan( %̂ ) = %& %& $% $& $% $% cos( ) = sin( ) = tan( ) = %& %& $& 7ULJRQRPpWULHGXWULDQJOH Dans un triangle $%&, soit D = %&, E = $& et F = $%. ˆ ˆ ˆ sin( $) sin( %) sin(&) Alors = = . D E F ©pa2003
