Mouvements dans les champs de pesanteur et électrostatiques

Mouvements dans les champs de pesanteur et électrostatiques uniformes
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Champ de pesanteur uniforme


La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur

défini par g = P où
m
est le poids d’un
objet de masse m placé en ce point. Ses caractéristiques sont :
 Sa direction : définie par la verticale du lieu ;
 Son sens : vers le bas ;
 Sa valeur : appelée intensité g de la pesanteur au lieu considéré. Au voisinage du sol terrestre, l’intensité g
de la pesanteur a une valeur de 9,8N.kg-1.

Dans un domaine restreint dont les dimensions ont pour ordre de grandeur le kilomètre, le champ de pesanteur
est identique en direction, sens et intensité : on dit que le champ de pesanteur est uniforme. Dans une telle
région, le vecteur champ de pesanteur est constant.
Application de la deuxième loi de Newton
 Une chute libre n’a lieu que dans le vide : un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
 On étudie le mouvement du projectile dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.




Une fois lâché ou lancé, le projectile n’est soumis qu’à une seule force, son poids P .




P =m. aG or P =m. g d’où
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
Le mouvement d’ensemble est indépendant de la masse du solide.
1) Chute sans vitesse initiale



Le solide est lâché, sans vitesse, à la date t = 0.

 

Le mouvement étant vertical, on note : aa.k et g  g.k
Projetons l’équation différentielle sur un axe Oz orienté vers le bas :
a = dv = g (g>0)
dt

Une primitive de cette relation donne l’équation horaire de la vitesse :
v = g.t + v(0) ; comme v(0)=0 alors :
v = g.t

Une nouvelle primitive de cette relation donne : z = 1 .g.t2 + z(0) ; comme
2
z(0) = 0 alors : z = 1 .g.t
2
2
Chute avec vitesse initiale
Equations horaires



Un projectile est lancé à une date qui sera prise comme origine des temps.

Son centre d’inertie G possède alors un vecteur vitesse v0 faisant un angle α avec le
plan horizontal.

On choisit un repère (O ; i , j ,k ) tel que l’origine O coïncide avec la position du centre
d’inertie du solide à la date t = 0.
 
On projette la relation aG = g dans le repère choisi:

Les coordonnées de l’accélération aG sont



ax = x = 0

ay = y = 0

az = z = -g (g>0)
 
aG = g



Par intégration, on obtient le vecteur vitesse v
vx = x = C1

vy = y = C2

vz = z = -g .t + C3


Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales.

A l’instant t = 0, le vecteur vitesse v0 a pour coordonnées :
v0x = v0.cosα
v0y = 0

vx = x = v0.cosα
v0z = v0.sinα


D’où : v
vy = y = 0

vz = z = -g .t + v0.sinα

Une nouvelle recherche de primitives donne les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG
x = v0.cosα.t + C1
y = C2
z = - 1 .g.t2 + v0.sinα.t + C3
2


A l’instant t = 0, le centre d’inertie G du projectile se trouve au point O, de coordonnées (0,0,0), donc C1 = C2 =
C3 = 0.
Les équations paramétriques de mouvement du centre d’inertie G d’un projectile dans un champ de pesanteur
terrestre sont :

OG
x = (v0.cosα).t
y=0
z = - 1 .g.t2 + (v0.sinα).t
2
Equation de la trajectoire

Pour trouver l’équation de la trajectoire du centre d’inertie d’un projectile, il suffit de remplacer le
paramètre temps t dans l’expression de z par :
t=
x
v0.cos
et
z = - 1 .g.
2

La trajectoire du centre d’inertie d’un
projectile lancé avec une vitesse
quelconque est une portion de parabole

située dans le plan vertical contenant v0 .
La parabole est d’axe vertical et sa concavité
tournée vers le bas.

Les caractéristiques de la parabole obtenue
dépendent des paramètres α et v0, c’est-àdire des conditions initiales.
2
x
+ x.tanα
v02.cos2
Mouvement dans un champ électrique uniforme
 On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
 On étudie le mouvement d’une particule de masse m et de charge q, placée dans un
champ électrique uniforme
(orienté de la plaque chargée positivement vers la
plaque chargée négativement), elle est soumise à une force électrique = q. ,
son poids est considéré comme négligeable devant la force électrique.
 La deuxième loi de Newton donne :
= m. = q.
d’où
=


ax = x = 0


Les coordonnées de l’accélération aG sont
ay = y = 0

az = z = - E


Par intégration, on obtient le vecteur vitesse v

vx = x = C1

vy = y = C2

vz = z = 

E.t + C3
Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales.

A l’instant t = 0, le vecteur vitesse v0 a pour coordonnées :
v0x = v0.cosα
v0y = 0
v0z = v0.sinα

vx = x = v0.cosα


D’où : v
vy = y = 0

vz = z = - E.t + v0.sinα

Une nouvelle recherche de primitives donne les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG
x = v0.cosα.t + C1
y = C2
z = - 1 . E.t2 + v0.sinα.t + C3
2

A l’instant t = 0, le centre d’inertie G du projectile se trouve au point O, de coordonnées (0,0,0), donc C1 = C2 =
C3 = 0.

Les équations paramétriques de mouvement du centre d’inertie G d’une particule chargée dans un champ
électrique sont :

OG
x = (v0.cosα).t
y=0
z = - 1 . E.t2 + (v0.sinα).t
2

D’où l’équation de la trajectoire :
z = - 1 . E.
2
2
x
+ x.tanα
v02.cos2