Chapitre 4: Introduction à la mécanique - Jean

Physique Statistique
Chapitre 4
Introduction à la mécanique statistique classique
1 – Etats microscopiques et espace des phases
Soit une particule définie par ses coordonnées qi , pi à un instant t.
(
)
qi ! x, y, z et pi ! px , py , pz px = mvx , py = mvy et pz = mvz
Nous sommes dans un espace à 6 dimensions.
Si nous avons N particules, il y aura 3Nqi et 3Npi . L’espace des phases aura 6N
dimensions.
Si le système est isolé, donc E=Cte, on ne parcourt qu’une partie de l’espace des phases.
Exemple : L’oscillateur harmonique
p2
q2
H (q, p) =
+K
2m
m
Dans ce cas, l’hyper-surface dans
l’espace (E,P) est une ellipse de demi-axes :
mE
et b =
a = 2mE
K
Si l’énergie est comprise entre E et
E +ΔE , les états accessibles du système se
trouvent dans la zone entre les deux ellipses.
p
b
0
a
E
q
Calcul du nombre d’états accessibles Ω
On divise l’espace des phases en cellules microscopiques élémentaires correspondant à
un état et de volume donné par le principe d’incertitude d’Heisenberg.
3
#!&
VP = (!x.!px ).(!y.!py ).(!z.!pz ) = (!q.!p) " % (
$2'
C’est un système à 3 degrés de liberté, donc un espace de phases à 6 dimensions. S’il y
a N particules dans le volume V, on obtient :
3N
#!&
VP = (!q1 .!p1 ).(!q2 .!p2 )......(!qN .!pN ) " % (
$2'
On a alors le nombre d’états pour le système à N particules disccernables dont l’énergie
est E à dE près.
dp .dp .....dpN .dq1 .dq2 .....dqN .
d(
d!(E, N,V ) = 1 2
=
3N
3N
"!%
"!%
$ '
$ '
#2&
#2&
N
avec d! = " dpi .dqi le volume élémentaire dans l’espace des phases.
i=1
Pour un système de N particules discernables dont l’énergie peut prendre les valeurs
comprises entre 0 et E, on a un nombre d’états donné par :
1
2 3N
!(E, N,V ) = 3N
!
$
d"
H #E
2 – Fonction de partition canonique classique
Quelle est la densité de probabilité de trouver le système de N particules dans l’état
d’énergie H.
1
exp(!! H (qi , pi ))
avec ! =
kT
ZN
P(H) est la distribution canonique classique.
ZN est la fonction de partition classique pour N particules.
On a : P(H ) =
ZN =
" exp(!! H )
(1)
ou
qi , pi
ZN =
1
VP
3N
&
2
& exp"#!! H (qi , pi )$% dqi dpi = !3N
& & exp"#!! H (q , p )$% dq
i
i
i
dpi
En fait P(H) est la densité de probabilité pour que le système soit dans l’état H qui
N
occupe un volume élémentaire d! = " dqi dpi de l’espace des phases.
i=1
On écrit
probabilité = P(H )d! = P(H )
2 3N d"
!3N
(2)
Si les particules sont indiscernables, on divise par N!
2 3N
ZN =
& & exp"#!! H (qi , pi )$% dqi dpi
N!!3N
3 – Application à la théorie cinétique des gaz
3.1 Densité de probabilité
Soit un gaz parfait enfermé dans un volume V. Pour une molécule de masse m, et de
vitesse v, l’Hamiltonien H(q,p) s’écrit :
p 2 (mv)2
H (q, p) =
=
2m
2m
La molécule n’a pas d’énergie potentielle, elle n’a qu’une énergie cinétique.
Calcul de la fonction de partition Z d’une molécule
" ! p2 %
23
Z1 = 3 ( exp $
'dpx .dpy .dpz dx.dy.dz
!
# 2mkT &
" !mv 2 %
23 m3
Z1 = 3 ( exp $
'dvx .dvy .dvz dx.dy.dz
!
# 2kT &
" m 2 2 2 %
23 m3
Z1 = 3 ( exp $ !!
vx + vy + vz 'dvx .dvy .dvz dx.dy.dz
#
&
!
2
(
L’intégrale
3
M
)
! d q = ! dx. dy. dz = V
i
vz
vy
V=volume
vx
2
En coordonnées sphériques, on a :
dvx .dvy .dvz = v 2 sin ! .dv.d! .d"
Donc :
23 m3
Z= 3
!
" !m 2 % 2
v 'v .sin " .dv.d" .d#
&
2
3 3
" !m 2 % 2
2 m
Z = 3 V ( exp $ !
v ' v dv ( sin " . d" . d #
# 2
&
!
( dx. dy. dz ( exp $#!
2#
#
or:
0
3
Z=
"
or
.#
..2 #
.0
..0
! sin!. d!. d" = ! sin!. d!. ! d" = ["cos! ] . [" ]
2 .4! Vm
!3
2 !ax 2
#xe
3 (
)v
0
.. #
0
" m %
exp $ !! v 2 '. dv
#
2 &
! !3/2
a
4
dx =
0
Ici a =
2
..2 #
= ["cos! ]..0 . [" ]..0 = 4#
C’est l’intégrale de Gauss
!m
m
=
2
2kT
x=v
et
3/2
2 34! m 3 ! ! 2kT $
Donc Z = V
.
#
&
!3
4 " m %
3/2
! 2 3 ! m 2 kT $
=V#
&
2
" !m %
3/2
! 8! mkT $
Z =V#
&
2
" !
%
D’où
On retrouve donc comme dans le cas quantique :
Donc Z peu différent de nqV
Z ! nqV
On a vu en (2) que la probabilité de trouver la particule dans le volume V avec la vitesse
! ! !
comprise entre v et v + dv
2 3N d!
Pr obabilité = P ( H ) 3N
!
Et en (1) nous avons vu que
P (H ) =
(
exp !! H ( qi , pi )
)
ZN
Avec d! = dqi .dpi = m 3dx.dy.dz.dvx .dvy .dvz
Donc la probabilité de trouver dans le volume V les particules à la vitesse v:
" mv 2 %
Donc : P ( v) dv =
Or :
( exp $#! 2kT '& m
! dx. dy. dz = V
3
dx. dy. dz. dvx . dvy . dvz
3/2
" 8! mkT % " ! %3
V$
' $ '
2
# !
& #2&
donc :
3
3/2
! 2! ! 2 $
! mv 2 $ m 3
Pr obabilité = #
exp
&
#'
& 3 .dvx .dvy .dvz
" mkT %
" 2kT % h
3/2
! mv 2 $
! m $
donc : P ( v) dv = #
& exp # '
& dvx .dvy .dvz
" 2! kT %
" 2kT %
Finalement
3/2
! mv 2 $
! m $
P(v)dv = #
& exp # '
&.dvx .dvy .dvz
" 2! kT %
" 2kT %
dvx .dvy .dvz = 4! v 2 dv : volume compris entre les sphères de rayon v et v+dv
La probabilité de trouver la particule dans le volume V avec la vitesse comprise entre v
et v+dv est donnée par :
3/2
! mv 2 $
! m $ 2
P ( v ) dv = 4! #
& v .exp # '"
& dv
" 2! kT %
2 %
"
P(v) est la densité de probabilité
3.2 – Distribution des vitesses des molécules dans un gaz parfait
a) Vitesse la plus probable
C’est celle ou la densité de probabilité P(v) est maximum.
dP ( v)
=0
Donc :
dv
On peut écrire : P ( v) = Av e
2
!
! mv 2
2
! mv 2 %
" ! ! mv2
!
dP ( v )
3
= A $2ve 2 ! v ! me 2 ' = 0
dv
$#
'&
Donc v 2 =
2v
m!
donc la vitesse la plus probable est vP =
2kT
m
b) Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est donnée par :
.3/2
(
! " mv 2 $
! m $ ( 3
v = ) vP ( v ) dv = 4! #
& . ) v exp # '
&dv
" 2! kT % 0
2 %
"
0
On obtient alors :
v=
8kT
m!
c) Vitesse quadratique moyenne
La vitesse quadratique moyenne est donnée par :
4
3/2 (
(
! m $
v = ) v P ( v ) dv = 4! #
&
" 2! kT %
0
2
2
3kT
et
m
On obtient : v 2 =
)v
0
4
! " mv 2 $
exp # '
&dv
2 %
"
vrms = v 2 =
3kT
m
Distribution
des vitesses
vP
vmoyen
Vrms
Vitesse des molécules
vP =
2kT
m
v=
8kT
m!
vrms =
3kT
m
3.3 – Flux de molécules sur une paroi
Le flux de molécules sur la paroi
perpendiculaire à la direction Ox est
donné par :
3/2 +(
vx
S
! m(vx2 + vy2 + vz2 ) $
&& vx dvx
) dvy. ) dvz ) exp ##' 2kT
"
%
'(
'(
0
3/2 +(
+(
+(
2
! mv $
! m $
J s = nSvx = nS #
& ) dvy . ) dvz ) exp # '
& vx dvx
" 2! kT % '(
" 2kT %
'(
0
! m $
J s = nSvx = nS #
&
" 2! kT %
+(
+(
Après intégration, on obtient :
5
1/2
! kT $
J s = nS #
&
" 2! m %
Si le gaz est parfait, on a : P=nkT
On obtient la relation de Knudsen qui donne le flux de molécules sur la paroi par unité
de surface :
P
J=
2! mkT
En effet :
.1/2
! kT $
Js
J = = n#
&
" 2! m %
S
.1/2
P ! kT $
=
#
&
kT " 2! m %
=
P
2! mkT
Cela n’est vrai qu’à basse pression
3.4 – Libre parcours moyen
C’est la distance moyenne l parcourue par une particule avant d’entrer en collision
avec une autre molécule de gaz.
A
b
v
a
B
d=2a
Les molécules ont un diamètre d=2a. La collision aura lieu si b<2a
Si la molécule A parcourt la distance L, toute particule B se trouvant dans le volume
2
4a ! L = ! d 2 L entrera en collision avec A.
Si n est la densité de particules, il y aura πd 2 Ln particules dans ce volume donc
l.(πd 2Ln)=L
D’où le libre parcours moyen sera : l =
1
! d 2n
6