thermo8

Chapitre 8 : Diffusion
0. Préambule
• Dans ce chapitre, on s’intéressera aux aspects microscopiques
de l’agitation thermique.
• La diffusion est le paradigme des processus stochastiques en physique.
• L’équation de diffusion est générique.
• Le lien entre diffusion microscopique et macroscopique est la
température.
1. Agitation thermique
• Mouvement Brownien :
découvert par Brown en 1827 (grains de pollen au microscope)
- mouvement erratique
- segments de trajectoire : MRU
- trajectoire couvre le plan
- pas de direction privilégiée
• Marche de l’ivrogne : modèle statistique du mouvement Brownien
2. Collisions et libre parcours
• Description microscopique du mouvement Brownien :
1/τ
- fréquence des collisions :
- temps moyen entre deux collisions : τ
- libre parcours moyen : ! = vτ
avec
1
mv 2 = kB T
2
• Libre parcours moyen :
!v
2d
!
N
1
=
2
πd "
V
1
!=
πd2 n
• Estimation du libre parcours moyen :
NA = 6 1023
particules
V = 22 10−3 m3
!0
r0
d
libre parcours moyen :
r = 0.15 nm
!
"1/3
V
d=
≈ 3.3 nm
NA
1
N
=
2
!0 πr0
V
section efficace
fréquence des collisions :
!0 ≈ 130 nm
f = v/!0 = 5 109 Hz
• vitesses individuelles et vitesse de groupe :
F! = !0
v != 0
vg = 0
v != 0
sur chaque portion du mouvement : ma = F
F
à chaque collision : vg = aτ = τ
m
mobilité des particules : vg = µF
F! != !0
vg != 0
3. Equation de la diffusion
• Vue macroscopique de la diffusion : densité et courant
ρ
x
densité :
ρ("r, t)
courant :
! r, t) = ρ(!r, t)!v (!r, t)
J(!
• Loi de Fick : atténuation des hétérogénéités
ρ
J!
t
t + dt
!
J! = −D∇ρ
loi de Fick
x
! 2 "
coefficient de diffusion D m /s
• Equation de continuité : conservation de la matière
!
!
dm
∂ρ
# n dS
=
dV
=
−
J.#
J!
dt
V ∂t
S
!
!
dm
∂ρ
# J# dV
dV = −
∇.
dt
V ∂t
V
∂ρ # #
+ ∇.J = 0
∂t
équation de continuité
• Equation de la diffusion :
!
J! = −D∇ρ
∂ρ
= D∇2 ρ
∂t
∂ρ # #
+ ∇.J = 0
∂t
• A une dimension :
une solution
loi de la diffusion
∂ρ
∂2ρ
=D 2
∂t
∂x
!
ρ0
(x − x0 )
ρ(x, t) = √
exp −
4Dt
4πDt
2
"
ρ
!=
x0
√
2Dt
x
4. Coefficient de diffusion
• Particules soumises à une force F :
F!
- apparition d’une vitesse de groupe : vg
- potentiel associé : U = −F x
- deux courants : potentiel et diffusif
à l’équilibre : Jtot = Jpot + Jdif f = 0
∂ρ
Jtot = ρµF − D
=0
∂x
!
"
U
solution type : ρ = ρ0 exp −
kB T
D = µkB T
relation d’Einstein
(Boltzmann)
• Loi de Stokes-Einstein : particules Browniennes
kB T
D=
6πηr
F = 6πηRv
• Et dans les solides ? déplacement de matière via les lacunes
!
Ea
D = D0 exp −
kB T
"
5. En résumé
microscopique
macroscopique
ρ
D
τ
x
lien
D = µkB T
température