td 2 proba de base

Département de Mathématiques
Guelma: 2012-2013
Probabilités de base
Série de TD 2
Exercice 1. Vérifier que les lois suivantes sont bien des lois de probabilité et calculer, quand elles existent,
l’espérance et la variance de ces lois.
A) Lois discrètes :
1) Bernoulli B(1, p), p ∈ [0, 1] : P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p.

2) Binomiale B(n; p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1] : P(X = k) = 
3) Poisson P(λ), λ > 0 : P(X = k) =
λk −λ
,
k! e
n
k

 pk (1 − p)n−k , 0 ≤ k ≤ n.
k ≥ 0.
B) Lois continues (on donne ici la densité de ces lois) :
4) Uniforme U([a, b]), a < b : fX (x) =
1
b−a 1[a,b] (x) ,
5) Gaussienne N (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0 : fX (x) =
6) Cauchy C(λ), λ > 0 : fX (x) =
1
λ
π λ2 +x2 ,
x ∈ R.
√ 1
2πσ 2
2
exp − (x−µ)
2σ 2
, x ∈ R.
x ∈ R.
7) Exponentielle E(λ), λ > 0 : fX (x) = λe−λx , x ∈ R+ .
8) Gamma Γ(t, λ), t; λ > 0 : fX (x) =
(λx)t−1 λe−λx
,
Γ(t)
x ∈ R+ , où Γ(t) =
R ∞ t−1 −x
e dx.
0 x
Exercice 2. Soit X une variable aléatoire centrée de variance σ 2 . En utilisant l’inégalité de Chebychev,
démontrer que
1) P ({|X| ≥ a}) ≤
σ2
a2
2) P ({|X| ≥ a}) ≤
σ2
a2 +σ 2
et P ({|X| ≥ a}) ≤
2σ 2
a2 +σ 2
(utiliser ψ(x) = (x + b)2 avec b ≥ 0, puis minimiser en b)
Exercice 3. Soient X une variable aléatoire positive de carré intégrable et 0 ≤ t < E(X).
a) Montrer, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec X et Y = 1{X>t} , que
P ({X > t}) ≥
(E(X) − t)2
E (X 2 )
b) Vérifier directement cette inégalité pour X ∼ P(λ) et t = 0.
Exercise 4. Let X be a centered Gaussian random variable of variance σ 2 . Compute :
a) E X 4 .
b) E (exp (X)) .
c) E exp −X 2
.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications
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