Lors d`une épidémie chez des bovins, on s`est aperçu que si la

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Exercice 1 (commun à tous les candidats)
Lorsd’uneépidémiechezdesbovins,ons’estaperçuquesilamaladieestdiagnostiquéesuffisammenttôtchezunanimal,
onpeutleguérir;sinonlamaladieestmortelle.
Untestestmisaupointetessayésurunéchantillond’animauxdont1%stporteurdelamaladie.
Onobtientlesrésultatssuivants:
–siunanimalestporteurdelamaladie,letestestpositifdans85%descas;
–siunanimalestsain,letestestnégatifdans95%descas.
Onchoisitdeprendrecesfréquencesobservéescommeprobabilitéspourlapopulationentièreetd’utiliserletestpourun
dépistagepréventifdelamaladie.
Onnote:
– M l’événement:«l’animalestporteurdelamaladie»;
– T l’événement:«letestestpositif».
1) Construireunarbrepondérémodélisantlasituationproposée.
2) Unanimalestchoisiauhasard:
a/Quelleestlaprobabilitéqu’ilsoitporteurdelamaladieetquesontestsoitpositif?
b/Montrerquelaprobabilitépourquesontestsoitpositifest0,058.
3) Unanimalestchoisiauhasardparmiceuxdontletestestpositif.Quelleestlaprobabilitépourqu’ilsoitporteur
delamaladie?
4) Onchoisitcinqanimauxauhasard.latailledecetroupeaupermetdeconsidérerlesépreuvescomme
indépendantesetd’assimilerlestiragesàdestiragesavecremise.Onnote X lavariablealéatoirequi,auxcinq
animauxchoisis,associelenombred’animauxayantuntestpositif.
a/Quelleestlaloideprobabilitésuiviepar X ?
b/Quelleestlaprobabilitépourqu’aumoinsundescinqanimauxaituntestpositif?
5) Lecoûtdessoinsàprodigueràunanimalayantréagipositivementautestestde100eurosetlecoûtdel’abattage
d’unanimalnondépistéparletestetayantdéveloppélamaladieestde1000euros.Onsupposequeletestest
gratuit.
D’aprèslesdonnéesprécédentes,laloideprobabilitéducoûtàengagerparanimalsubissantletestestdonnée
parletableausuivant:
a/Calculerl’espérancemathématiquedelavariablealéatoireassociantàunanimallecoûtàengager.
b/Unéleveurpossèdeuntroupeaude200bêtes.Sitoutletroupeauestsoumisautest,quellesommedoi-il
prévoird’engager?
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Exercice 2 (commun à tous les candidats)
Onconsidèrelecube ABCDEFGH représentésurfeuilleannexe.Danstoutl’exercice,l’espaceestrapportéaurepère
!!!" !!!" !!!"
orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
(
)
⎛1
⎞
Onnote I lepointdecoordonnées ⎜ ;1;1⎟ .
⎝3
⎠
1) Placerlepoint I surlafigure.
(
)
( )
( ) ( )
2) Leplan ACI coupeladroite EH en J .Démontrerquelesdroites IJ et AC sontparallèles.
( )
3) Onnote R leprojetéorthogonalde I surladroite AC .
a/Justifierquelesdeuxconditionssuivantessontvérifiées:
!!!"
!!!"
–ilexisteunréel k telque AR = k AC ;
!!" !!!"
– IR ⋅ AC = 0 .
b/Calculerlescoordonnéesdupoint R .
11
.
3
c/Endéduirequeladistance IR estégaleà
⎛ 3 ⎞
!⎜
⎟
4) Démontrerquelevecteur n ⎜ −3 ⎟ estnormalauplan ( ACI ) .
⎝ 2 ⎠
(
)
Endéduireuneéquationcartésienneduplan ACI .
Exercice 3 (commun à tous les candidats)
La partie A est indépendante des parties B et C.
Partie A
prérequis :lafonctionexponentiellepossèdelesquatrepropriétéssuivantes:
(1) : exp estunefonctiondérivablesur ! ;
( 2) :safonctiondérivée,notée exp′ ,esttelleque,pourtoutnombreréel x , exp′ ( x ) = exp ( x ) ;
(3) :lafonction exp nes’annulepassur ! ;
( 4) : exp (0) = 1 .
1) Enn’utilisantquecesquatrepropriétésdelafonctionexponentielle,démontrerquepourtoutnombreréel a et
toutnombreréel b :
exp a + b = exp a × exp b .
(
)
( )
()
indication:onpourrautiliserlafonction g définiesur ! par g x = exp a + b − x × exp x .
()
2) Endéduirequepourtoutréel x :
(exp( x ))
2
( )
= exp 2x (
)
()
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Partie B
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x
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle ⎤⎦ 0 ; + ∞ ⎡⎣ par: f x = x
.
e −1
()
eh − 1
= 1 .
h→0
h
Endéduirelalimitede f en 0 .
1) Démontrerque: lim
2) Déterminerlalimitede f en +∞ .
Partie C
( )
Soit un lasuitedéfiniepourtoutentier n supérieurouégalà1par: un =
1
2
1) Démontrerque: 1+ e n + e n +…+ e
n−1
n
=
1− e
1− e
1
n
1
2
n−1
⎤
1⎡
n
n
n
1+
e
+
e
+…+
e
⎢
⎥ .
n⎣
⎦
.
⎛ 1⎞
2) Endéduireque: un = e − 1 f ⎜ ⎟ .
⎝ n⎠
(
)
( )
3) Calculerlalimitedelasuite un .
Exercice 4 (réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
( )
Onconsidèrel’équation E : 7x − 6 y = 1 où x et y sontdesentiersnaturels.
( )
3) Donnerunesolutionparticulièredel’équation E .
( )
4) Déterminerl‘ensembledescouplesd’entiersnaturelssolutionsdel’équation E .
Partie B
(
)
Danscettepartie,onseproposededéterminerlescouples n ; m d’entiersnaturelsnonnulsvérifiantlarelation:
( )
7 n − 3× 2 m = 1 F .
1) Onsuppose m ≤ 4 .Montrerqu’ilyaexactementdeuxcouplessolutions.
2) Onsupposemaintenant m ≥ 5 .
a/Montrequesilecouple n ; m vérifielarelation F alors 7 n ≡ 1 ⎡⎣32 ⎤⎦ .
(
)
( )
(
)
b/Enétudiantlesrestesdeladivisionpar32despuissancesde7,montrerquesilecouple n ; m vérifiela
( )
relation F alors n estdivisiblepar4.
(
)
( )
c/Endéduirequesilecouple n ; m d’entiersnaturelsvérifielarelation F alors 7 n ≡ 1 ⎡⎣5⎤⎦ .
(
)
( )
d/Pour m ≥ 5 ,existe-t-ildescouples n ; m vérifiantlarelation F ?
( )
3) Conclure,c’est-à-diredéterminerl’ensembledescouplesd’entiersnaturelsnonnulsvérifiantlarelation F .
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ANNEXE EXERCICE 2
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