P8 : Initiation à la théorie cinétique des gaz - INSA Rouen
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INSA de Rouen - STPI2 - Année 2011-2012 P8 : Initiation à la théorie cinétique des gaz 1 Généralités 1.1 Les Etats de la matière Solide : • Formes et dimensions fixes • Atomes, molécules et ions rigidement liés Fluides : Pas de forme imposée, caractérisés par leur aptitude à s’écouler Liquide : occupe un volume propre (influence des forces de Van Der Waals) Gaz : pas de volume propre 1.2 Gaz réel / Gaz parfait Gaz réel : Il existe une interaction à distance entre les molécules • Distance entre molécules > taille de la molécule • Interaction faible mais existante entre molécules • Interaction forte lors d’une collision entre molécules ou sur une paroi Gaz réel : Principe de l’interaction type : "boule de billard" • Distance entre molécules » taille de la molécule • Pas d’interaction à distance entre molécules • Interaction élastique lors d’une collision entre molécules ou sur une paroi −−→ −−→ L’interaction entre deux particules peut s’exprimer Fi→ j = −grad (ϕ). On considère l’énergie potentielle ϕ comme dépendant du rayon d’éloignement. 1.3 Approches microscopique et macroscopique Approche microscopique : Il faut décrire à chaque instant le mouvement et la position de toutes les entités. Au vu de l’incommensurable nombre de particules à considérer, on passe par une approche statistique. Par la statistique, on définit alors les grandeurs thermodynamiques : • Température (cinétique) • Pression • Diffusion moléculaire • Conductivité thermique • Viscosité dynamique. . . Aproche macroscopique : On décrit alors le mouvement de "paquets de fluide" considérés comme des milieux continus. On est alors en Mécanique des Fluides où l’on considère donc les grandeurs thermodynamiques définies macroscopiquement. 1 2 Le gaz parfait à l’équilibre 2.1 Hypothèses Densité de probabilité : On considère la densité de la probabilité qu’un ensemble de NP particules dans un volume unitaire soit défini − − − − − − −→ → − → − −→ −→ à l’instant t tel que chaque particule i est positionnée en → ri à d → ri près avec une vitesse → vi à d → vi près : F(→ r1 , → v1 , . . . , − r→ NP , vNP ) d r1 d v1 . . . d rNP d vN Indépendance et non différenciation des particules : En considérant les distances entre molécules bien plus grandes que leur NP − − − − − − champ d’action, on peut poser F = ∏ F0 (→ ri , → vi ,t) et définir le nombre de particules en → ri à d → ri près avec une vitesse → vi à d → vi près i=1 → − → − → − → − hdN i = N F ( r , v ,t) d r d v P P 0 Stationnarité : A l’équilibre thermodynamique, la description du gaz est indépendante du temps. −r , → − −r d → − Ainsi hdNP i = NP F0 (→ v ) d→ v Uniformité : A l’équilibre thermodynamique, la densité de probabilité individuelle n’est pas dépendante du vecteur position de − − la particule individuelle. Ainsi hdNP i = NP F0 (→ v ) d→ v Isotropie des vitesses : A l’équilibre thermodynamique, la densité de probabilité individuelle des vitesses est isotrope. Ainsi hdNP i = NP F0 (v) d 3 v Dans la suite du cours, on considère la densité de particules par unité de volume N = 2.2 NP . V Température du gaz et énergie cinétique 3 En fonction de la température, on considère l’énergie cinétique de translation (par unité de volume) du gaz par E = NkB TC . 2 o d Principe d’équipartition : Une particule à d o de particules a pour énergie cinétique EC = kB T . 2 Dans le modèle du gaz parfait, on considère les particules comme des points : elles ont alors 3 degrés de liberté. do NkB ∆T dans un volume constant, on peut définir ∆U = mcV ∆T avec la 2 d o NkB 3 chaleur spécifique massique cV = . La chaleur spécifique par atome d’un gaz parfait est CV = kB . 2 m 2 Chaleur spécifique : En considérant ∆U = ∆E = 2.3 Distribution de Maxwell-Boltzmann En espace cartésien des vitesses : d 3 N = N En espace sphérique des vitesses : d3N m 2πkB T =N !3 2 mv2 exp − 2kB T !3 m 2πkB T 2 dvx dvy dvz mv2 exp − 2kB T En espace sphérique des vitesses avec isotropie : dN = 4πN 2.4 ! Vitesses r 2kB T rm 8kB T Vitesse moyenne : vmoy = v = πm 3kB T Vitesse quadratique moyenne : v2 = m Vitesse la plus probable : vP = 2 m 2πkB T ! v2 sin(θ ) dv dθ dϕ !3 2 mv2 exp − 2kB T ! v2 dv 2.5 Flux d’une quantité scalaire d 3 NP+ → − − Densité de flux de particules à travers une surface dS : → ϕ = n = dt d 2 S 3 2 Volume élémentaire : d V = v cos(θ ) d S dt d 3 N d 3V → v− − n = ... = N → n 2 dt d S 4 RRR Densité de flux d’une quantité scalaire X à travers une surface dS : − ϕ→ X = d 3 N d 3V X → − n dt d 2 S RRR v→ − Cas du débit massique (X = m = cste) : − ϕ→ m = Nm n 4 2.6 Flux d’une grandeur vectorielle Densité de flux d’un champ vectoriel uniforme → − → − − − − On considère une grandeur vectorielle uniforme A transportée par les particules : A = Ax → ux + Ay → uy + Az → uz Le flux généralisé à toutes les orientationsdes dS est généralisé par le tenseur suivant : Ax Ax Ax v ϕi,+j = N Ay Ay Ay 4 Az Az Az (→ − − − u ,→ u ,→ u ) x Vecteur densité de flux selon : x y y z z Tenseur des contraintes (Densité de flux de quantité de mouvement) : −p = m→ − Quantité de mouvement : → v v2x vy vx vz vx P 0 = . . . = Nm 0 P Tenseur général : ϕi,+j = Nm vx vy v2y vz vy 0 0 vx vz vy vz v2z − − − ux ,→ uy ,→ uz ) (→ → − − d2 F · → n Définition de la pression : P = = NkB T 2 d S 2.7 0 0 P (→ − − − u ,→ u ,→ u ) x y z Loi des gaz parfaits Loi initiale : P = NkB T NP n NA = V V Définition de R : R = NA kB = 8, 314 J.K −1 .mol −1 Equation des gaz parfaits : PV = nRT Expression de N : N = 2.8 Cas de l’écoulement permanent uniforme (convectif) − − − Considérons ici un gaz subissant un mouvement rectiligne uniforme dans (O,x). On a donc → v1 = → v +V → ux la direction 2 !3 → − → − 2 m m v1 − V Distribution de Maxwell Boltzmann : d 3 N = N exp − dvx dvy dvz 2πkB T 2kB T (vx +V )2 vy (vx +V ) vz (vx +V ) P + ρV 2 0 0 P 0 Tenseur de contrainte : ϕi,+j = Nm (vx +V ) vy = . . . = Nm 0 v2y vz vy 0 0 P (→ 2 − − − (vx +V ) vz vy vz vz − − − ux ,→ uy ,→ uz ) ux ,→ uy ,→ uz ) (→ ! +∞ mv2 µV 2 RRR x = Densité de flux de l’énergie cinétique : ϕEC (vx +V ) d 3 N × 1 dvx dvy dvz = . . . = V Ec + +P 2 2 −∞ 3 3 Validité du modèle du gaz parfait Section efficace de collision : σcol = π (R1 + R2 )2 Portée des interactions mutuelles : RP = R1 + R2 =⇒ σcol = π (RP )2 Durée de collision : τcol = RP v √ Fréquence de collision : fcol = 2Nσcol v 1 1 Durée intercollisionnelle : τ = =√ fcol 2Nσcol v Libre parcours moyen (∼parcours intercollisionnel) : l pm = v × τ Distance moyenne entre particules : d = P kB T !− 3 2 Conditions de validité : • Interaction instantanée : τ τcol (durée d’interaction faible) • Modélisation ponctuelle : l pm d RP (taille de la particule faible) 4 4 4.1 Le gaz parfait hors équilibre Distance moyenne de dernière collision On considère la distance de la dernière collision depuis une surface dS comme étant l pm cos(ϕ) RRR l pm cos(θ ) d 3 N(v, θ , ϕ) d 3V 2 RRR Distance moyenne de collision : dxmin = = . . . = l pm 3 3 3 d N(v, θ , ϕ) d V 4.2 Diffusion moléculaire Loi de Fick : La densité de flux de particules dans un fluide est proportionnelle au gradient de la densité particulaire et au coefficient de diffusion. v −−→ Interprétation mathématique : − ϕ→ le Coefficient de Diffusion P = −Dgrad (N) avec D = l pm 3 4.3 Conductivité thermique →=N Densité de flux d’énergie cinétique : − ϕ−EC r 3 2 − n (kB T ) 2 → πm Loi de Fourier : La densité de flux d’énergie dans un gaz parfait est proportionnelle au gradient de température au sein de ce gaz et à la conductivité thermique. −→ → = −k − Interprétation mathématique : − ϕ−EC tr grad (T ) avec kt r = −NkB v l pm la Conductivité Thermique 4.4 Viscosité dynamique Au niveau d’une paroi dans une conduite lors d’un écoulement, le gaz proche de la paroi dans cette couche dite limite se déplace plus − − − lentement. La vitesse d’une particule est alors → v1 = → v +V (y) → ux . Loi de Stokes : Les composantes extra-diagonales du tenseur des contraintes représentent les forces de viscosité par unité de surface. Ces contraintes sont proportionnelles au gradient suivant y de la composante suivant x et au coefficient de viscosité dynamique µ. dV 2 P + ρV (y) −µ dy 0 Interprétation mathématique : ϕi, j = Nm 0 P 0 0 0 P (→ − − − u ,→ u ,→ u ) x y mNv l pm la Viscosité Dynamique (unité : Pa.s = Pl Poiseuille) 3 dVx dVx −µ −µ P dy dz dVy dVy Cas général : ϕi, j = Nm P −µ −µ dx dz dVz dVz −µ −µ P − − − dx dy ux ,→ uy ,→ uz ) (→ avec µ = 5 z
