Session

Université des Sciences et Technologies de Lille
Licence STA
23 février 2010
Semestre 3 MIMP, PC, SPI
Introduction à l’électromagnétisme
Durée : 2 heures 30 mn
Documents et calculatrices non autorisés
Soignez la rédaction et la clarté des explications
A. PLAQUE CONDUCTRICE DE DIMENSIONS TRÈS GRANDES DEVANT SON
ÉPAISSEUR
Une plaque conductrice de dimensions très grandes devant son épaisseur e est parcourue par un
courant électrique uniforme de densité j . La plaque, ainsi que le milieu dans lequel elle est
plongée, ont une perméabilité magnétique µo. Les symétries du problème imposent de choisir un
(
)
repère cartésien Oxyz, de vecteurs unitaires u x , u y , u z . Celui-ci sera tel que j soit orienté
dans le sens de u x ( j = j u x , où j est la norme du vecteur j ) et que le plan xOy soit confondu
avec le plan médiateur de la plaque (voir figure ci-dessous).
z
+e/2
uz
j
x ux
O
uy
y
−e/2
1- En utilisant les propriétés de symétrie du système, déterminer, en tout point M(x, y, z) de
l’espace, la direction du champ d’induction magnétique B créé par cette plaque.
2- À l’aide des invariances de ce système, déterminer la (les) coordonnée(s) dont va dépendre B .
3- Comment le champ B en un point M(x, y, z) est-il transformé en un point M’ symétrique de
M par rapport au plan xOy ? En déduire B dans le plan xOy.
4- Énoncer précisément le théorème d’Ampère sous sa forme intégrale.
5- Application de ce théorème :
1
a) Déterminer le champ d’induction B (sens, direction, norme) en tout point M(x, y, z) extérieur
e
à la plaque (z >0 ou <0 : z ≥ ), notamment en fonction de µo, j et e. Conclusion.
2
b) De la même façon, déterminer le champ d’induction B en tout point M(x, y, z) intérieur à la
e
plaque (z >0 ou <0 : z < ).
2
6- Tracer les variations de la norme de B en fonction de la position de M à l’intérieur et à
l’extérieur de la plaque.
B. ACTION DE B SUR UN COURANT
Dans l’entrefer d’un aimant de largeur L règne un champ d’induction uniforme B (voir figure).
(
)
On choisira un repère cartésien de vecteurs unitaires u x , u y , u z tel que B soit orienté dans le
sens de u y ( B = B u y , où B est la norme de B ). Un conducteur rectiligne est soumis au champ
B sur une longueur L. Il est placé perpendiculairement à B , c’est à dire suivant u x .
1- Exprimer la force (norme, direction, sens) qui s’exerce sur le fil conducteur lorsque celui-ci est
parcouru par un courant d’intensité I dans le sens de u x (voir figure).
2- On désire évaluer l’intensité de B .
a) Pour cela, l’aimant est posé sur une balance électronique : Le conducteur est fixé sur un
support indépendant de la balance. Celle-ci indique une masse M lorsque le fil n’est
parcouru par aucun courant. Lorsque le conducteur est parcouru par le courant I, la balance
indique une augmentation m de masse. Expliquer pourquoi en effectuant le bilan des forces
qui agissent sur l’aimant.
b) Comment, à l’aide d’un ensemble de N mesures de mi, correspondant aux intensités Ii, peuton en déduire l’expression de la norme de B .
L
I
uz
uy
B
ux
X grammes
2
C. TORE
(C)
z
Sur toute la surface d’un tore de section
circulaire de rayon a et de rayon moyen r
(voir figure), on enroule régulièrement un
fil conducteur fin parcouru par un courant
d’intensité I. Chaque spire se trouve dans
un plan méridien contenant l’axe z’z et le
nombre total de tours N est suffisamment
grand pour qu’on puisse considérer la
distribution du courant sur la surface du
tore comme continue.
Note : Le circuit (C) apparaissant sur la
figure ci-contre, n’est à considérer que pour
la partie III.
i
I
I
r
+
+a
z'
I – Symétries et invariances de l’induction magnétique B
1- À l’aide de considérations de symétrie, montrer que, dans le
système de coordonnées cylindriques (ρ, θ, z), de vecteurs
(
)
unitaires u ρ , u θ , u z , l’induction magnétique B créée par cet
enroulement en un point M quelconque de l’espace n’a qu’une
seule composante non nulle.
x
2- De quelle(s) coordonnée(s) (ρ, θ, z) dépend B ? Justifier.
uz
z
uθ
ρ
z
uρ
M
O
θ
y
3- Toujours à l’aide de considérations de symétrie, préciser la valeur de B sur l’axe z’z.
II – Théorème d’Ampère
1- Rappeler l’expression du théorème d’Ampère sous sa forme locale.
2- Compte tenu des propriétés de B obtenues aux questions I-1 et I-2, expliciter l’expression du
théorème d’Ampère.
Rappel : En coordonnées cylindriques, pour un champ de vecteurs
W (ρ, θ, z ) = Wρ (ρ, θ, z ) u ρ + Wθ (ρ, θ, z ) u θ + Wz (ρ, θ, z ) u z ,
 ∂ Wρ ∂ Wz
 1 ∂ Wz ∂ Wθ 
on a : rot W = 
−
 u ρ + 
−
∂z 
∂ρ
ρ ∂θ
 ∂z
∂ Wρ 

1 ∂
 uθ + 
 uz .
(
ρ
W
)
−
θ

∂ρ

ρ
∂
θ



3- En tout point à l’extérieur et à l’intérieur du tore (hors des conducteurs), on aboutit à un
C
rotationnel dont les composantes sont nulles. En déduire que B s’écrit B = u θ , où C est
ρ
une constante.
4- Suite au résultat de la question I-3, déduire qu’en tout point extérieur au tore, on a B ext = 0 .
3
5- En utilisant le théorème d’Ampère sous sa forme intégrale (voir exercice A, question 4),
retrouver rapidement l’expression de l’induction magnétique B int à l’intérieur du tore.
III – Étude d’un transformateur
Le bobinage est parcouru par un courant dépendant du temps d'intensité I(t). Un champ B(t ) est
ainsi créé à l’intérieur du tore. On rappelle que le flux auto-induit de B à travers les N spires du
tore est proportionnel à l'intensité I et qu'on peut l'écrire sous la forme Φ tore = LI , où L est le
coefficient d’auto-inductance du tore, qu’il n’est pas nécessaire d’expliciter ici.
On entoure cette bobine torique par une seule boucle conductrice fermée (C) située dans un plan
passant par z’z et comportant une seule spire de résistance R (voir figure). Par convention cette
spire est orientée positivement dans le sens indiqué sur la figure.
1- Exprimer le flux ΦC du champ magnétique B à travers la boucle (C) en fonction de L, N et I.
2- Donner un énoncé des lois de Lenz et de Faraday.
3- Exprimer la force électromotrice d’induction e et le courant i induit dans la boucle (C). Par
convention, les courants I et i sont orientés positivement suivant les sens indiqués sur la figure.
4- À l’instant t, le courant I(t) est positif : En déduire (tout calcul est inutile) le sens de i selon que
I(t) est constant, augmente ou diminue.
5- Dans toute la suite, le courant I est variable selon la loi I(t ) = I o cos ωt . Calculer :
a) Le flux ΦC de B à travers la boucle en fonction de L, N et I(t).
b) Le courant i circulant dans la boucle.
6- Exprimer la puissance instantanée PC(t) dissipée dans la boucle (C) en fonction de Io, R, L, N
et ω. En déduire la puissance moyenne PC dissipée dans la boucle pendant une période.
7- Comment procéder pour diviser par 4 la puissance dissipée dans la boucle ?
4
SUITE DE L’EXERCICE A
II – Étude de A
1- En utilisant les propriétés de symétrie du système, déterminer, en tout point de l’espace, la
direction du potentiel-vecteur A dont dérive B .
2- À l’aide des invariances de ce système, déterminer de quelle(s) coordonnée(s) va dépendre A .
3- Comment le champ A en un point M(x, y, z) est-il transformé en un point M’ symétrique de
M par rapport au plan xOy ?
4- Donner la relation locale entre B et le potentiel-vecteur A .
5- En déduire le potentiel-vecteur A int (direction, sens, norme) à l’intérieur de la plaque. On
prendra l’origine des potentiels dans le plan xOy.
6- En déduire le potentiel-vecteur A ext (direction, sens, norme) à l’extérieur de la plaque. On
e
prendra en compte la continuité des potentiels en z = ± .
2
7- Tracer les variations de la norme de A en fonction de la position de M à l’intérieur et à
l’extérieur de la plaque.
5