Aide-mémoire de trigonométrie 1. Valeurs particulières 2. Formules

Aide-mémoire de trigonométrie
1. Valeurs particulières
0 (rad)
π/6 (rad)
π/4 (rad)
π/3 (rad)
π/2 (rad)
0°
30°
1
2
45°
2
2
2
2
60°
3
2
1
2
90°
1
3
∃
1
3
3
0
x
sin x
0
cos x
1
tan x
0
cotan x
∃
3
2
3
3
3
2. Formules des angles associés
Formules des angles égaux
cos (2kπ + x) = cos x
sin (2kπ + x) = sin x
cos (k 360° + x) = cos x
sin (k 360° + x) = sin x
tan (2kπ + x) = tan x
cotan (2kπ + x) = cotan x
tan (k 360° + x) = tan x
cotan (k 360° + x) = cotan x
Formules des angles opposés
cos (− x) = cos x
sin (− x) = − sin x
cos (− x) = cos x
sin (− x) = − sin x
tan (− x) = − tan x
cotan (− x) = − cotan x
tan (− x) = − tan x
cotan (− x) = − cotan x
Formules des angles supplémentaires
cos (π − x) = − cos x
sin (π − x) = sin x
cos (180° − x) = − cos x
sin (180° − x) = sin x
tan (π − x) = − tan x
cotan (π − x) = − cotan x
tan (180° − x) = − tan x
cotan (180° − x) = − cotan x
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 1
1
0
Formules des angles anti-supplémentaires
cos (π + x) = − cos x
sin (π + x) = − sin x
cos (180° + x) = − cos x
sin (180° + x) = − sin x
tan (π + x) = tan x
cotan (π + x) = cotan x
tan (180° + x) = tan x
cotan (180° + x) = cotan x
Formules des angles complémentaires
π
cos ( − x) = sin x
2
cos (90° − x ) = sin x
sin ( − x) = cos x
2
sin (90° − x ) = cos x
tan ( − x) = cotan x
2
tan (90° − x ) = cotan x
cotan ( − x) = tan x
2
cotan (90° − x ) = tan x
π
π
π
Formules des angles anti-complémentaires
π
cos ( + x) = − sin x
2
cos (90° + x ) = − sin x
sin ( + x) = cos x
2
sin (90° + x ) = cos x
tan ( + x) = − cotan x
2
tan (90° + x) = − cotan x
cotan ( + x) = − tan x
2
cotan (90° + x ) = − tan x
π
π
π
3. Formules
cos 2 x + sin 2 x = 1 (relation fondamentale)
tan x =
1
cos 2 x
sin x
π
tan x ∃ si x ≠ + kπ
cos x
2
(k ∈ ℤ)
1 + cotan 2 x =
cos x
cotan x ∃ si x ≠ kπ
sin x
(k ∈ ℤ)
séc x =
cotan x =
tan x =
1 + tan 2 x =
1
cotan x
x≠
1
sin 2 x
1
cos x
coséc x =
1
sin x
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 2
π
2
+kπ
x ≠ kπ
(k ∈ ℤ)
(k ∈ ℤ)
4. Formules d’addition
cos ( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin ( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a − b) = sin a cos b − cos a sin b
tan ( a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
C.E. : a + b ≠
tan ( a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
C.E. : a − b ≠
π
2
π
2
+ kπ , a ≠
+ kπ , a ≠
π
2
π
2
+ kπ , b ≠
+ kπ , b ≠
5. Formules de duplication
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos 2 a -sin 2 a
tan 2a =
2 tan a
1- tan 2 a
C.E. : a ≠
π
2
+ kπ , a ≠
π
4
+k
π
2
(k ∈ ℤ)
6. Formules de Carnot
cos 2 a =
1 + cos 2a
2
⇔
1 + cos 2a = 2 cos 2 a
sin 2 a =
1 − cos 2a
2
⇔
1 − cos 2a = 2sin 2 a
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π
2
π
2
+ kπ
(k ∈ ℤ)
+ kπ
(k ∈ ℤ)
௔
7. Formules en tan ଶ
a
2
sin a =
a
1 + tan 2
2
a
1 − tan 2
2
cos a =
2 a
1 + tan
2
a
2 tan
2
tan a =
2 a
1 − tan
2
2 tan
C.E. : a ≠ π + 2kπ
( k ∈ ℤ)
C.E. : a ≠ π + 2kπ
( k ∈ ℤ)
C.E. : a ≠ π + 2kπ et a ≠
π
2
+ kπ
(k ∈ ℤ)
8. Formules de Simpson
Transformations de sommes en produits
sin p + sin q = 2sin
p+q
p−q
cos
2
2
sin p − sin q = 2 sin
p−q
p+q
cos
2
2
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
cos p − cos q = −2sin
tan p + tan q =
tan p − tan q =
p+q
p−q
sin
2
2
sin ( p + q )
cos p cos q
sin ( p − q )
cos p cos q
C.E. : p ≠
C.E. : p ≠
π
2
π
2
+ kπ et q ≠
+ kπ et q ≠
Transformations de produits en sommes
1
( sin ( a + b ) + sin ( a − b ) )
2
1
cos a cos b = ( cos ( a + b ) + cos ( a − b ) )
2
1
sin a sin b = − ( cos ( a + b ) − cos ( a − b ) )
2
sin a cos b =
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π
2
π
2
+ kπ
(k ∈ ℤ)
+ kπ
(k ∈ ℤ)
9. Equations trigonométriques
9.1. Equations élémentaires en sinus
Si x et a sont des mesures d’angles en radians, on a
sin x = sin a ⇔ x = a + 2k π ou x = π − a + 2k π
(k ∈ ℤ)
Si x et a sont des mesures d’angles en degrés, on a
sin x = sin a ⇔ x = a + k .360° ou x = 180° − a + k .360°
(k ∈ ℤ)
9.2. Equations élémentaires en cosinus
Si x et a sont des mesures d’angles en radians, on a
cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ
(k ∈ ℤ)
Si x et a sont des mesures d’angles en degrés, on a
cos x = cos a ⇔ x = a + k .360° ou x = −a + k .360° ( k ∈ ℤ )
9.3. Equations élémentaires en tangente
Si x et a sont des mesures d’angles en radians, on a
tan x = tan a ⇔ x = a + k π ( k ∈ ℤ ) .
Si x et a sont des mesures d’angles en degrés, on a
tan x = tan a ⇔ x = a + k .180° ( k ∈ ℤ ) .
9.4. Equations se ramenant à une équation élémentaire
La règle du produit nul, les formules des angles associés, les formules d’addition, les
formules de duplication, les formules de Carnot, les formules de Simpson, … permettent, dans
certains cas, de transformer une équation en une (des) équation(s) élémentaire(s).
Une équation du deuxième degré en sin x , cos x ou tan x , se ramène à des équations
élémentaires après avoir posé respectivement y = sin x , y = cos x ou y = tan x et après avoir
résolu l’équation en y .
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 5
9.5. Equations homogènes
Définition
Une équation est homogène en sin x et cos x si tous les termes sont de même degré par
rapport à sin x et cos x .
Par exemple,
•
sin x + 3 cos x = 0 est une équation homogène en sin x et cos x ,
•
cos3 x − 3sin 2 x cos x = 0 est une équation homogène en sin x et cos x ,
•
sin 3 x − cos3 x = 3 n’est pas une équation homogène en sin x et cos x .
Méthode de résolution
•
•
•
Effectuer, si possible, une mise en évidence et appliquer la règle du produit nul.
Un des facteurs est une équation homogène.
Diviser les deux membres de l’équation homogène par cos m x où m est le degré
commun par rapport à sin x et cos x de chaque terme.
Résoudre l’équation en tan x obtenue.
9.6. Equations du type ࢇ ‫ ࢞ ܛܗ܋‬+ ࢈ ‫ࢉ = ࢞ ܖܑܛ‬
Soit une équation du type a cos x + b sin x = c avec a, b ∈ ℝ 0 et c ∈ ℝ .
Méthode de résolution
•
Si ܿ = 0
Il s’agit d’une équation homogène en sin x et cos x .
•
Si ܿ ≠ 0
Si nécessaire, diviser les deux membres par a (resp. par b ) de sorte que le coefficient
de sin x ou de cos x soit égal à 1.
sin ϕ
b
a
b
a
Poser = tan ϕ (resp. = tan ϕ ) et remplacer
(resp. ) par
.
a
b
a
b
cos ϕ
Réduire au même dénominateur et résoudre à l’aide des formules d’addition et des
formules des angles associés.
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 6
10. Triangle rectangle
α=
π
2
β +γ =
et
a2 = b2 + c2
π
2
( Pythagore )
Pour les angles aigus d’un triangle rectangle, c’est-à-dire les angles β ou γ , on a
ˆ opposé à β
coté
sin β =
hypothénuse
cos β =
ˆ adjacent à β
coté
hypothénuse
tan β =
ˆ opposé à β
coté
ˆ adjacent à β
coté
cotan β =
ˆ adjacent à β
coté
ˆ opposé à β
coté
Ces égalités sont généralement mémorisées selon l’expression « SOH CAH TOA CAO ».
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 7
11. Triangle quelconque
α + β +γ =π
Relations aux sinus
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Relations aux cosinus
Théorème d’Al Kashi
a = b cos γ + c cos β
b = c cos α + a cos γ
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos β
c = a cos β + b cos α
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Aire d’un triangle
S=
Base × Hauteur
2
Aire d’un triangle en fonction de deux côtés et d’un angle
L’aire d’un triangle est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de l’angle qu’ils
forment.
Soit ABC un triangle quelconque, on a
S=
ab sin γ ac sin β bc sin α
=
=
2
2
2
Aire en fonction des côtés et du rayon du cercle circonscrit R
S=
abc
4R
Remarque
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d’intersection des médiatrices du
triangle.
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Aire en fonction du périmètre et du rayon du cercle inscrit r
S = pr
où p désigne le demi-périmètre : 2 p = a + b + c .
Remarque
Le centre du cercle inscrit à un triangle est le point d’intersection des bissectrices des angles
du triangle.
Aire en fonction des côtés (Formule de HÉRON d’ALEXANDRIE)
S=
p ( p − a )( p − b )( p − c )
où p désigne le demi-périmètre.
Aire en fonction des angles et d’un côté
S=
a 2 sin β sin γ b 2 sin α sin γ c 2 sin α sin β
=
=
2 sin α
2 sin β
2 sin γ
Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 9
Aide-mémoire de trigonométrie ........................................................................................ 1
1. Valeurs particulières ............................................................................................................. 1
2. Formules des angles associés................................................................................................. 1
3. Formules .............................................................................................................................. 2
4. Formules d’addition .............................................................................................................. 3
5. Formules de duplication ........................................................................................................ 3
6. Formules de Carnot ............................................................................................................... 3
7. Formules en ‫ࢇ ܖ܉ܜ‬/૛ ............................................................................................................ 4
8. Formules de Simpson ............................................................................................................ 4
9. Equations trigonométriques .................................................................................................. 5
9.1. Equations élémentaires en sinus ............................................................................................................. 5
9.2. Equations élémentaires en cosinus ......................................................................................................... 5
9.3. Equations élémentaires en tangente ...................................................................................................... 5
9.4. Equations se ramenant à une équation élémentaire .............................................................................. 5
9.5. Equations homogènes ............................................................................................................................. 6
9.6. Equations du type ܽcos‫ ݔ‬+ ܾsin‫ ܿ = ݔ‬................................................................................................... 6
10. Triangle rectangle ............................................................................................................... 7
11. Triangle quelconque ............................................................................................................ 8
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