Cours - Playmaths

Nombres complexes
Partie 2
Ex 71-74-76 p.308
I. Formes trigonométriques d’un nombre complexe
non nul
1) Définitions
Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O, u , v ) .
Définition argument :
Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan complexe d’affixe z.
On appelle argument de z une mesure en radians de l’angle ( u , OM ) . On le note arg(z).
Rque :
0 est le seul complexe sans argument.
z ≠ 0 admet une infinité d’arguments. Si  est un argument de z alors tous les arguments de
z sont de la forme   2k , k  ℤ . On écrit arg(z) =  [2]
2) Coordonnées
Dans un repère orthonormé direct (O, u , v ) , on peut repérer un point M distinct de O par :
ses coordonnées cartésiennes (a ; b), donc par son affixe zM = a + ib
ses coordonnées polaires (, ) , où  est une mesure en radians de l’angle orienté ( u , OM )
et  = OM =
a²  b²
  a²  b²

Liens entre (a ; b) et (, ) : a   cos  .
b   sin 

3) Forme trigonométrique
z = x + iy
=  cos   i  sin 
=  (cos  i sin )
Définition forme trigonométrique
L’écriture z =  (cos  i sin ) est appelée forme trigonométrique de z.
Avec   z et arg(z) =  [2].
On a aussi z  z (cos  i sin )
Exemples :
1) Déterminer les arguments des nombres complexes suivants : -3i ; 4 ; -5 ; 3  i ; -2 + 2i.

3
arg( 3  i ) =
[2 ; ] ; arg(-2 + 2i) =
[2].
6
4
2
2
2) Placer dans le plan complexe, le point M d’affixe z = 5 (cos
 i sin ) puis déterminer
3
3
5
15
i
sa forme algébrique. (Rep : z = 
)
2
2
1
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4) Propriétés de l’argument
(1) Tout réel strictement positif a un argument égal à 0 [2]
(2) Tout réel strictement négatif a un argument égal à  [2]

(3) Tout nombre imaginaire pur a un argument égal à
[].
2
Soit z un nombre complexe non nul.
(4) arg(-z) = arg(z) +  [2]
(5) arg( z ) = - arg(z) [2]
dem : immédiate d’après la définition et propriétés des angles orientés.
5) Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des
arguments égaux à 2k près, c'est à dire :

 z  z'
z = z’ équivaut à 

arg(z)  arg(z') [2]
6) Arguments et opérations
Propriété fondamentale :
Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a :
(1) arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2]
dem :
(1) soit z  z (cos  i sin ) et z'  z' (cos 'i sin ')
alors zz’ = z z' [(cos  cos '  sin  sin ')  i (sin  cos '  cos  sin ')]
donc zz’ = z z' [cos(   ')  i sin(   ')]
comme z z'  0 alors cette écriture est une forme trigonométrique de zz’ et donc
arg(zz’) =   ' [2]
donc arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2]
Remarque : cela permet de donner une interprétation géométrique du produit de deux
complexes :
Application :
1) Déterminer une forme trigonométrique de z = 1 +i et z’ =
3 i
4
2) En déduire une forme trigonométrique de zz’.


2
5
5
1


(cos
 i sin
)
( z = 2 (cos  i sin ) ; z’ = (cos  i sin ) ; zz’ =
4
4
2
12
12
2
6
6
2
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Propriétés ( conséquences)
1
(2) arg   = - arg(z) [2]
z
z
(3) arg   = arg(z) - arg(z’) [2]
 z' 
(4) arg z n = n arg(z) [2]
 
dem :
(2) zz’ = 1 entraîne arg(z) + arg(z’) = 2k
d’où arg(z) = - arg(z’) + 2k
1
d’où arg   = - arg(z’) + 2k
 z' 
(3) dem immédiate de (1) et (2)
(4) dem par récurrence : n= 0
nℕ
n  ℤ : il existe mℕ tel que m = - n avec nℕ
 1 
arg z n = arg  m  [2]
z 
= -m arg(z)
= n arg(z)
 
Application :
1) Déterminer une forme trigonométrique de 1 + i puis en déduire une forme
1
trigonométrique de
.
1i
1
2


 
 

(cos    i sin  )
( 1  i  2 (cos  i sin ) et
4
4
1i
2
 4
 4
2) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de z = (  3  i)(1  i) .
7
7
et de sin
.
12
12
7
2 6
7
2 6


Rep : cos
et de sin
.
12
4
12
4
En déduire les valeurs exactes de cos
Ex 52 à 58 p.306
3
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II. Exponentielle d’un nombre complexe non nul
1) Définition Propriétés
Soit la fonction f :   cos   i sin  (  nombre réel)
f(  ')  cos(  ')  i sin(  ') , ce nombre a pour module 1 et pour argument   ' .
f( ) a pour module 1 et pour argument  .
f( ') a pour module 1 et pour argument ' .
f()  f(') a donc pour module 1 et pour argument   ' , donc f(  ')  f()  f(')
de plus f(0) = cos 0 + i sin 0 = 1
La fonction f définie précédemment vérifie les propriétés de la fonction exponentielle
étudiée en analyse, ce qui conduit à la notation suivante : e i  cos   i sin  .
Définition :
Pour tout réel  , on pose e i  cos   i sin 
Autrement dit, e i est le nombre complexe de module 1 et d’argument  .
Exemples :
Propriété :
Tout nombre complexe non nul de module r et d’argument  peut s’écrire :
z = r e i ou z = r(cos  i sin )
et réciproquement, tout nombre complexe qui s’écrit : z = r e i ou z = r(cos  i sin )
avec r > 0 a pour module r et pour argument  [2].
Cette notation qui utilise les propriétés des exponentielles permet de retrouver les
propriétés des modules et arguments :
Ex 45-46 p.305
2) Propriétés :
Pour tous réels r et r’ strictement positifs,  et ' réels quelconques :
(1) r e i  r' e i'  rr' e i(  ')
(2)
(3)
1
1
 e i r≠ 0
i
r
re
r e i
r' e
i'

r i( ')
e
r≠ 0
r'
(4) (r e i ) n  r n e in
Ex 43-44-47-48-49 p.305
4
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3) Formules d’Euler ???
Propriété
Pour tout nombre réel  , on a : e i  cos   i sin  d’où e i  cos   i sin  .
En particulier : e i  1 .
Exemples : e
i
5
6
 ...  
3 1
 i.
2 2
On en déduit par addition et soustraction membre à membre des égalités précédentes le
corollaire suivant
Corollaire :
e i  e i
e i  e i
cos  
et sin  
2
2i
Applications :
1) En utilisant la formule de Moivre : a  R, (e ia ) n  e ian , retrouver les formules de
cos 2a  cos²a  sin²a
duplication en trigonométrie : 
a  R .
sin 2a  2 sin a cos a
2) A l’aide des formules d’Euler, retrouver les formules de linéarisation en trigonométrie :
1  cos 2a

cos²a 
2
.

sin²a  1  cos 2a

2
Linéariser cos 6 a et sin 3 a où a est un réel.
3) z = 1  e i ,   0 ;    ;2

 i2
e
2
b) Déterminer le module et l’argument de z selon la valeur de  .




( si  0 ;  , z  2 cos et arg(z)  , si     ; 2, z  2 cos et arg(z)    )
2
2
2
2
c) En déduire une forme trigonométrique , puis une forme exponentielle de z.
a) Démontrer que z = 2 cos
Racine n-ième de l’unité
Ex 50-51 p 305
Lieux géométriques : Ex 66-67-68-69 p.307
Pb bac p.309-310-311
5
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