Module 4209 – Fibres optiques Cours 5 – Interférence Diffraction 1
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Module 4209 – Fibres optiques Cours 5 – Interférence Diffraction 1 . Rappels 1.1 . Onde Il est courant de voir les ondes écrites sous la forme : S t A.sin .t ou sous la forme S (t )= A . cos (ω t +ϕ) ou A est l'amplitude, =2.f =2/T est la pulsation (f la fréquence, T sa période), une phase. En notation complexe une onde s'écrit : S (t )= A . exp j ω t+ϕ 1.2 . Indice de réfraction Dans le vide la lumière se propage à la vitesse c. Dans la matière, la lumière se propage à une c vitesse v. On définit l'indice de réfraction n= v 1.3 . Longueur d'onde La longueur d'onde dans le vide est : λ = c . T C'est la longueur parcourue par l'onde pendant une période T. c .T λ 0 = Dans la matière la longueur d'onde est λ mat =v .T = n n 1.4 . Phase et déphasage La phase joue un rôle important en optique. Le déphasage lié à la propagation d'une onde sur la distance Δ x dans un milieu d'indice n est : Δx nΔx ϕ=2 π =2 π λ mat λ Les déphasages temporels et spatiaux entre deux ondes s'expriment : (règle de trois) : Δ ϕ=2 π nΔx λ ou Δ ϕ=2 π Δt T 2 . Interférence On dit qu'il y a interférence, ou que des ondes interfèrent, lorsque l'intensité résultante de la superposition de deux ou plusieurs ondes n'est pas la somme de leur intensité. Ce phénomène a parfois été résumé en optique par l'équation : Lumière + Lumière = Obscurité 2.1 . Démonstration Considérons une onde S t A. exp j t qui se divise en deux ondes S1 et S2 de même amplitude et qui se propagent suivant des trajets différents l1 et l2 : En se propageant de A en B, l'onde S1 accumule un déphasage ϕ 1=2 π ϕ 2=2 π n L1 et S2 λ n L2 λ Au moment de se "recombiner" (interférer) en B, les ondes s'écrivent : j .t 2 A S1 t exp 2 nl1 j .t 2 et l'autre onde est : S t A exp 2 2 nl2 Après "recombinaison" S résultante (t )=S1 (t )+ S2 (t )= En posant 0 A A A exp j ω t +ϕ + exp j ωt +ϕ = exp j ω(t ) . [exp j ϕ +exp j ϕ ] 2 2 2 1 2 1 2 (Eq. 21) 1 2 2 n1l1 n 2 l 2 et 1 n1l1 n2 l 2 on peut écrire : 2 2 (Eq. 22 et 23) 1 0 et 2 0 . (Eq. 24 et 25) En remplaçant 1 et 2 par leurs expressions fonction de 0 et , il vient A A S B t exp jt . exp j 0 0 exp j 0 0 exp jt . exp j0 . exp j0 exp j0 . exp j0 2 2 A S B t exp jt . exp j0 . exp j0 exp j0 soit S B t A. cos exp jt 0 2 (Eq. 26) n1l1 n2 l 2 L’onde en B a donc pour amplitude de : AB A. cos A. cos 2 2 (Eq. 27) Si la différence de trajets et des indices entre l1 et l2 est telle que = 0 modulo 2 cos 1 , l’amplitude AB A reste inchangée. On parle d'interférence constructive Si la différence de trajets et des indices entre l1 et l2 est telle que = cos 0 l’amplitude est nulle modulo , 2 AB 0 et il n’y a pas de lumière en sortie. On parle d'interférence destructive Interférence constructive Interférence destructive 3 . Diffraction par un réseau En optique un réseau est une structure régulière à une , deux ou trois dimensions qui impose à une onde une variation périodique de son amplitude ou de sa phase ou des deux à la fois. 4 . Relation de Bragg dans un réseau à une dimension 4.1 . Relation de Bragg La relation de Bragg s'écrit : n λ=2. a sin(θ) • n est un entier • est la longueur d'onde • a est la période du réseau optique • est l'angle d'incidence 4.2 . Démonstration On considère une onde incidente dans le vide qui se propage avec un angle par rapport aux plans d'un réseau. Ce réseau présente des plans périodiques séparés de a. • • Une partie de l'onde arrivée en A est transmise en B ou elle est réfléchie en C. Une autre partie de l'onde est réfléchie en A vers C'. Deux ondes qui suivent chacune un des deux trajets différents arrivent avec un front d'onde en CC' avec un déphasage qui est lié à la distance à parcourir pour chacun des trajets : • trajet 1 : AC' • trajet 2 : ABC La différence des trajets correspond à la différence de phase : (AB+BC) -(AC') Si la différence des trajets est un nombre entier de longueur d'onde alors les ondes arrivent en phase ce qui peut se traduire mathématiquement par : (AB+BC) -(AC') = m l a a D'aprèsle théorème de Pythagore dans le triangle AHB on obtient : AB= et BC= sin θ sin θ 2a Dans le triangle ABC on a également AC=2 AH = tan θ 2a cos θ Dans le triangle ACC', AC '= AC cos(θ)= tan θ En remplaçant les différents éléments dans la relation de phase : 2a 2a 2a 2a 2 2 m λ= θ− cos θ= [1−cos (θ)]= (θ)sin (θ)=2 a sin θ soit m λ=2 a sin θ sin tan θ sin (θ) sin 5 . Relation de Bragg sous incidence normale Dans un milieu d'indice n, de période L, pour m=1 et avec un angle d'incidence normal la relation de Bragg devient : λ=2n Λ 6 . Réseau photo inscrit dans une fibre Il est possible d'inscrire un réseau de Bragg de pas L dans une fibre optique. (Fiber Bragg Grating). Cela se réalise par photoinscription. Là ou le cœur de la fibre reçoit une lumière intense l'indice devient localement n3. On obtient alors une réflexion pour les ondes de longueur d'onde λ bragg=2 n Λ • Au niveau du réseau photoinscrit la lumière de longueur d'onde λ Bragg est réfléchie. (filtre Notch) • Les autres longueurs d'ondes sont transmises. 7 . Applications aux filtrages La première application des FBG est dans les systèmes de communications pour sélectionner certaines longueurs d'ondes. (Filtre Notch). Ils sont aussi utilisés dans les multiplexeurs et démultiplexeurs optiques avec un circulateur. Ils rentrent dans la composition des multiplexeurs OADM : Optical Add Drop Multiplexer optiques d'insertion et d'extraction. (OADM optical Add Drop Multiplexeur) Sur la figure ci contre un OADM avec 4 longueurs d'ondes est représentée. Il est constitué d'un FBG et de deux circulateurs. Le FBG réfléchie une longueur d'onde (c'est à dire un canal – ici le canal 4) qui est renvoyée sur le circulateur qui l'extrait (DROP). Puisque le canal a été libérée on peut y insérer une nouvelle charge par le port DROPP. Un démultiplexeur optique peut être réalisée en cascadant plusieurs partie extraction d'OADM pour extraire chacune des longueurs d'onde. Réciproquement un multiplexeur en longueur d'onde peut être réalisé en cascadant plusieurs fonction INSERTION.
