7 - Correction Quantique 17 16 juin 15

Initiation à la mécanique quantique 17
a. L’équation de Schrödinger associée à l’écriture d’une onde stationnaire dans un potentiel V
2m ( E − V0 )
E
.
donne pour solution Ψ(x,t) = A.expi(kx – t) avec k2 =
ℏ
ℏ2
En adaptant cette solution, on obtient :
pour la région (I), V = 0, ϕ1(x) = A.exp(ik1x) + B.exp(– ik1x) = A.exp(ik1x) + r.A.exp(– ik1x)
pour la région (II), V = V0, ϕ2(x) = C.exp(ik2x) = t.A.exp(ik2x) (absence de réflexion).
b. Les conditions de raccordement en x = 0, sont ϕ1(0) = ϕ2(0) et ϕ1’(0) = ϕ2’(0).
On obtient comme pour les ondes électromagnétiques : 1 + r = t et k1(1 – r) = k2.t.
k −k
2k1
r = 1 2 < 1 et t =
> 1. Si E >> V0, k1 ≈ k2, t ≈ 1 et r ≈ 0.
k1 + k 2
k1 + k 2
On retrouve le cas de la mécanique classique, la particule poursuit son chemin.
c. Aux instants t1 et t2, on observe l’approche du paquet d’ondes incident de la marche de
ℏk
potentiel. Sa vitesse de déplacement est égale à la vitesse de groupe 1 ux.
m
Á l’instant t3, on observe des interférences quantiques entre l’onde incidente et l’onde
réfléchie dans la zone de superposition. La période spatiale des interférences est égale à
une demi-longueur d’onde de De Broglie.
Á l’instant t4, le paquet d’ondes incident s’est dissocié en un paquet d’ondes réfléchi et un
paquet d’ondes transmis du côté x > 0. Les amplitudes maximales des ondes réfléchies et
transmises sont déterminées par les probabilités de réflexion et de transmission.
Le schéma montre bien que r < 1 et t > 1.
De l’instant t4 à l’instant t5, on observe le déplacement des différents paquets d’ondes. Le
paquet transmis se déplace à une vitesse inférieure à celle du paquet réfléchi. C’est en
accord avec la diminution de l’énergie cinétique de la particule transmise qui est consécutive
à l’augmentation de l’énergie potentielle.
2m ( E − V0 )
< 0. On peut écrire k2 = iµ, µ > 0, alors ϕ2(x) = t.A.exp(– µx).
ℏ2
k − iµ
Par les mêmes relations, on obtient r = 1
et |r| = 1 ce qui conduit à R = 1. La particule
k1 + i µ
quantique est réfléchie par la barrière de potentiel, mais dans la région (II), ϕ2(x) est non
3
nulle pour x < = 3δ alors que la mécanique classique interdit cette région (Ec < 0).
µ
d. Si E < V0, k 22 =