V - Psychosmose

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2006 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Étude d’un cycle
1) Question de cours :
Démontrer la loi de Laplace pour les transformations réversibles d’un Gaz Parfait. On démontrera
uniquement la relation liant P et V et on précisera dans la démonstration où sont utilisées les hypothèses de la loi de Laplace.
). On donne
2) On considère un gaz parfait initialement dans l’état A : (
!et
. Le gaz est contenu dans un cylindre muni d’une paroi mobile de surface .
"#$&%
.-%0/13254
On dispose de
de ce gaz dont la masse molaire est ')(*,+
.
687 9: ;
(
La pression atmosphérique vaut :
.
Données numériques :
< #=&>@?=ABC?D$
EFG$
D$-&HI0/1J254LKM254N
OPQRSTVUW:,XY/1J254 et %Z:[]\^2_ .
`
et le nombre de moles.
a) Calculer la température
P
b) Exprimer la vitesse quadratique moyenne (a ) des molécules en fonction de la température
,
de R et de la masse molaire.
En déduire une estimation de la valeur numérique de la vitesse des molécules dans l’état initial.
=A =&>
et
en fonction de R.
c) Exprimer pour ce gaz les coefficients
Que pouvez-vous en déduire sur la nature du gaz utilisé dans ce cycle ?
Quelles sont les hypothèses microscopiques que ce gaz doit remplir ?
3) Ce gaz parfait subit un cycle de transformations réversibles :
b une compression sans échange de chaleur avec le milieu extérieur qui l’amène de l’état A
[cde:f[;$gch
`c
à l’état B (
),
b une dilatation isotherme de l’état B à l’état C (&ijkij
li ),
b une détente isochore de l’état C vers l’état A
a) Représenter de manière schématique ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (P,V). Justifier
qualitativement vos choix. S’agit-il d’un cycle moteur ou récepteur ?
`m
b) Déterminer les valeurs des variables d’état
, dans les unités SI, pour chacun des états A,
B et C. On résumera les valeurs numériques dans un tableau.
c) Dans l’état B, une masse M se trouve placée sur la paroi mobile. Calculer la valeur numérique
cde: f de ' permettant d’obtenir
.
d) De manière qualitative, dire comment varie la vitesse moyenne des molécules entre l’état A et
l’état B.
4) Calculer les quantités de chaleurs ainsi que les travaux échangés au cours des transformations
AB, BC et CA. On résumera les valeurs numériques dans un tableau.
1
5)a) Calculer le travail total et la quantité de chaleur totale échangés au cours d’un cycle. Conclure
b) Que devient
7 * 7
si les transformations sont irréversibles ?
6)a) Pourquoi la transformation CA est nécessairement irréversible si la source en contact avec le
système est à température constante ?
i lors de cette transformation
b) Dans ce cas, calculer l’énergie échangée sous forme de chaleur
isochore irréversible.
Exercice 2 - Equation d’état d’un gaz réel
Cet exercice a pour but l’étude de 1 mole d’un gaz réel a priori inconnu.
Une étude expérimentale de ce gaz réel a montré que les coefficients thermoélastiques suivent les
lois suivantes :
E
6
et
A
A
où
E
est la constante des gaz parfaits et une constante caractéristique du gaz étudié.
1) Donner la signification physique du coefficient ainsi que son unité.
2) En utilisant ces deux coefficients thermoélastiques, donner les expressions de
A
Jm
. On notera 3) Etablir l’équation d’état de ce gaz sous la forme
et
la constante d’intégration.
4)a) Vers quelle limite doit tendre tout gaz réel quand le volume tend vers l’infini ? Justifier et en
déduire la valeur de .
? b) Donner la signification physique du terme
.
Quelle hypothèse de la définition microscopique du gaz parfait reste valable pour ce gaz réel ?
Coefficients thermoélastiques :
A4
A
Rappels :
4 >
A
> A 25A 4 > >
2
n
io
t
c
e
rr
o
C
Licence 2 - UE PHY231 - Durée : 1h - Octobre 2006
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Étude d’un cycle
1) Question de cours :
Par définition, une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle le sys#
tème n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. On a donc :
.
Dans le cas d’une transformation réversible, on peut écrire :
$
k.
, ==&A>$$
#
= A =&> On en déduit :
R
5
Soit, en faisant le rapport de ces deux équations :
Dans le cas du gaz parfait, on sait que
<
=A
R =&>
5
<
P#? ?
et
. D’où :
$ 5 < $ On intègre la relation précedente :
1lW
1 = 1L k#= 1lK
où on a posé que la constante C est égale à
On en déduit la loi de Laplace :
1lK
(une autre constante).
#K =/! \#"
!$"&%
d.$ ? -Z.$STClY/1
`.hj?5E]-TG$K
(1)
2) a) On a
.
DT?'_etc ? (
'_c
)(
b) Pour un gaz parfait, on a :
a , où est la constante de BoltzmannO et
la masse d’une molécule. On multiplie à gauche et à droite par le nombre d’Avogadro ( ), on
D!'_c@Olh](
OP
obtient :
a .
EF*'_c5OP
)(OP
On sait que
, et on peut dire que
est la masse d’une mole de ce gaz, donc la masse
molaire.
On a donc
DE
a
' (*,+
3
Il s’agit de la vitesse quadratique moyenne des atomes.
La vitesse moyenne des atomes peut donc être estimée :
c) En utilisant la relation de Mayer (
=AB
<
E
a
' (*,+
=A E
=>
DE;
D$&Y\ 254
) et la définition de < , on trouve :
et
=&>Y
< E
<
Il s’agit d’un gaz parfait monoatomique dont les molécules sont considérées comme ponctuelles et
sans interaction à distance : elles n’ont donc que trois degrés de liberté.
3) a) Entre A et B, on a une compression adiabatique : la pression
? augmente et le volume diminue. La pression varie comme
(loi de Laplace).
Entre B et C, on a une détente isotherme : la pression diminue et
?
le volume augmente. La pression varie comme
.
Entre C et A, on a une détente isochore : la pression diminue et le
volume reste constant.
Il s’agit d’un cycle moteur car le cycle est parcouru dans le sens
horaire.
P
B
C
A
V
b) La transformation de A à B est adiabatique réversible d’un Gaz Parfait, on utilise donc la loi de
Laplace
#: [c$ c
gc #. $ 4 U) #RNC_ UW:_2 YX
On a donc
lcdIcRgc ?5E] GRNC[K .
Par ailleurs on a
.
id `c
La transformation de B à C est isotherme, on a donc :
Zid.. Finalement, la transformation CA est isochore, on a donc
.
Iid 5Eli ? gi _NCR UW:
.
Soit
A
B
C
YX
K
)
"!# %$ & "!
"!'(
& "!
P (en
)
V (en
)
T (en
c) Dans l’état B, la pression du gaz contenu dans l’enceinte est donnée par :
[cdI687 ' %
(
4
[c
[687 9:G ' %
(
on a donc '
.
d) On sait que la température est proportionnelle à l’agitation thermique des molécules. On en
conclue que la vitesse moyenne des molécules augmente entre A et B car T augmente.
NB : on peut également utiliser l’expression trouvée en 2)b).
4) On va utiliser le premier principe
et la première loi de Joule (car il s’agit d’un
*@=&A $
gaz parfait) :
.
Transformation AB : adiabatique réversible.
#
On a donc
c gH
F cY, d’où
@=A J`c . I Q$SG H
Il vient donc
et
.
Transformation BC : isotherme réversible.
La première loi de Joule nous indique :
donc
.
Il vient donc
$
ci c id
R 5E;`c
c i D-H
5E`cl1gi@? gc
Soit
.
Transformation CA : isochore réversible.
#
On a donc
, d’où
i *@=A J li . Q$SGH FRidgH
Il vient donc
et
.
Les valeurs numériques sont résumées dans le tableau suivant :
H
Q (en )
AB
BC
CA
]7 7g
7 7 $NZH
H
W (en )
7 * 77 7 ] 7 * 7 $SVH
5)a) On a : *
et
. On constate d’une part que
*
comme on si attend pour un cycle (U est une fonction d’état) et d’autre part que
est également attendu pour un cycle moteur.
*
ce qui
b) U étant une fonction d’état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. En particulier pour un
7 7
cycle
*
que la transformation soit réversible ou pas.
6)a) On sait que la transformation CA peut être considérée comme réversible si et seulement si :
F 7
. 7
elle est quasi-statique,
et
.
Si la source en contact avec le système est lors de la transformation CA est à température fixe,
7
l’égalité
ne peut être respectée car la température du système évolue lors de cette transformation.
La transformation CA est donc nécessairement irréversible .
i 9 et i b) On est en présence d’une transformation isochore irréversible. On a donc
iT*@=A J li
(car la loi de Joule est valable pour toutes les tranformations).
On a donc la même valeur de Q (dans ce cas particulier) que lors de la transformation réversible.
5
Exercice 2 - Equation d’état d’un gaz réel
1) représente la capacité d’un corps à se comprimer à température constante. pour une tranformation infinitésimale, il s’agit de la variation relative de colume causée par une variation de
; 254
pression, à température constante. Son unité est
.
2) Avec les définitions des coefficients
E
A et , on trouve immédiatement :
E
A
X
> 3) On intégre (2) à V constant. On a donc :
5 E
W
E
(2)
On peut dériver ce résultat par rapport à V, à T constant :
On identifie avec (2) et on trouve
On a donc :
E
J J [ #T? k d’où J I T? kX E
.
(3)
4)a) Lorsque le volume devient très grand, les distances inter-molécules deviennent très grandes et
les molécules peuvent êtres considérées comme ponctuelles. De même les interactions à distance
peuvent être négligées. On se retrouve dans le cadre de la définition microscopique du gaz parfait.
Tout gaz réel tend vers le modèle du gaz parfait quand
.
D’après (3), il faut
.
6
b) A est une correction au modèle du gaz parfait. Plus précisemment, il s’agit de prendre en
compte l’interaction à distance entre les molécules, qui joue le rôle d’une surpression.
Dans la définition microscopique du gaz parfait l’hypothèse "molécules pontuelles" reste valable
(c’est le terme de covolume de l’équation de Van der Waals qui est une correction à cette hypothèse).
6