Thermodynamique des Gaz Parfaits

Université Pierre & Marie Curie
MM123
2008/2009
dynamique des gaz
Feuille de TD No 1
Thermodynamique des Gaz Parfaits
L’état thermodynamique de tout corps pur peut être caractérisé par une couple de variables d’état souvent choisies parmi le triplet T , p et v où v désigne le volume massique
1/ρ. On définit les coefficients calorimétriques comme les coefficients qui relient l’apport
de chaleur à ce corps pur et la variation de ses propriétés thermodynamiques. On notera
donc, pour δQ un apport élémentaire de chaleur par unité de masse du corps :
δQ = Cv dT + lv dv
ou δQ = Cp dT + lp dp
1) En utilisant le premier et le second principe de la thermodynamique, montrez que l’on
peut exprimer lv et lp de manière explicite à partir de l’équation d’état. Montrez de même
que la différence Cp − Cv s’exprime elle aussi de manière explicite à l’aide de l’équation
d’état.
2) Peut-on alors dire que l’équation d’état caractérise totalement le comportement thermodynamique du corps pur ?
Soit un gaz parfait obéissant à la loi de Mariotte :
P v = rT =
R
T
M
où R = 8.3145J/K/mol est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz
considéré.
3) Que valent lv et lp pour un tel gaz ?
4) Déduisez-en que pour un gaz parfait dont les capacités calorifiques sont constantes
(gaz caloriquement parfait), l’expression de e, h et s (on utilisera l’indice adiabatique
γ = Cp /Cv ).
On rappelle que la vitesse du son est une grandeur thermodynamique
∂p
∂ρ
2
c =
Calculez la vitesse du son d’un gaz parfait.
1
!
s
Propagation du son dans l’atmosphère.
On considère que l’atmosphère est un gaz parfait caloriquement parfait, au repos, soumise
à la pesanteur d’accélération uniforme g.
On fait l’hypothèse que l’entropie est constante. Exprimer p en fonction de ρ, de l’indice
adiabatique γ et des pression et masse volumique au niveau du sol p0 et ρ0 .
Exprimer p(z) et T (z) en fonction de p0 et de T0 respectivement, de γ et de gz/(rT0 ).
On cherche à étudier la propagation du son dans l’atmosphère. On suppose que l’atmosphère peut être représentée par un empilement de couches d’air de petite épaisseur
δz. Dans la couche de hauteur z la vitesse du son est c(z) et c(z + δz) dans la couche
suivante a la hauteur z + δz. On note θ l’angle formé par la direction de l’onde sonore
considérée avec la verticale.
θ(z + δz)
θ(z)
z + δz
z
5) En écrivant la conservation de la phase et de la fréquence du signal sonore au passage
de la couche z à la cuche z + δz, obtenir la loi de Descartes :
c(z + δz)
c(z)
=
sin(θ(z + δz))
sin(θ(z))
Dans quel sens l’onde sonore s’incurve-t-elle ? Exprimer sin(θ(z)) en fonction de sin θ0 , de
γ et de gz/(rT0 ).
L’atmosphère est à entropie constante pour des raisons de stabilité. On peut montrer que si
une masse de gaz est perturbée et effectue un peitit mouvement ascendant, ce mouvement
est amplifié ou amorti selon que l’entropie est décroissante ou croissante.
La réfraction causée par les variations brusques d’indice dans l’atmosphère est à l’origine
des mirages.
2