Exercices sur la Turbulence

Exercices sur la Turbulence
Master 2 Génie des Procédés - Marseille
7 décembre 2011
1
Écoulement autour d’un train
Un train profilé fait L = 85 m de longueur, h = 2.6 m de hauteur et l = 2.4 m de largeur. Calculer
la puissance requise pour vaincre la traı̂née due aux effets visqueux lorsque le train va à U = 145 km/h
dans les conditions atmosphériques standard en supposant que la traı̂née sur les côtés et en haut sont
égales à celle sur une plaque plane de largeur b = 7.6 m et de longueur L. On donne l’expression du
coefficient de traı̂née pour ce train profilé dans le cas des nombres de Reynolds très élevés Re > 107 :
CD =
0.455
log10 (Re)2.58
(1)
On prendra ρ = 1.2 kg/m3 et ν = 1.46 × 10−5 m2 /s.
2
Comparaison des pertes de charge en régimes turbulent et
laminaire
Soit l’écoulement d’un fluide visqueux (ν = 10−5 m2 /s) à une vitesse moyenne Um = 10 m/s dans
une conduite de diamètre D = 1 cm. La hauteur moyenne des rugosités h vaut 10−5 m.
– Calculer le coefficient de pertes de charge en régime turbulent à l’aide du diagramme de Nikuradze (Fig.1).
– Quelle serait sa valeur si le régime pouvait être maintenu laminaire ?
Fig. 1 – Coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative
R/h en conduite de section circulaire, d’après Nikuradze (1933).
1
3
Diffusion en jet libre plan
Un jet libre plan est émis d’une fente de demi-largeur D0 dans une atmosphère initialement au
repos. On suppose que le profil de vitesses est uniforme à l’émission et de valeur U0 . En régime
laminaire, la diffusion de quantité de mouvement est entièrement contrôlée par la viscosité moléculaire
du fluide ν. En régime turbulent, l’expérience montre qu’à une certaine distance en aval de la source
où les approximations de couche limite s’appliquent, l’expansion du jet est linéaire, avec un demi-angle
de l’ordre d’une dizaine de degrés.
– On désigne par UA (x) une échelle de vitesse caractéristique du transport advectif dans le jet et
par νT une viscosité cinématique représentative de la diffusion par agitation turbulente. Établir
que le nombre de Reynolds UA (x)×x/νT (x désigne la coordonnée longitudinale de l’écoulement)
est constant dans le jet.
– L’expérience montre que l’expansion du jet s’accompagne, en régime turbulent, d’une décroissance
hyperbolique de la vitesse sur l’axe. Qu’en concluez vous pour la viscosité cinématique de turbulence νT ?
– Déduire que sous les conditions de la question précédente, le rapport entre les viscosités cinématiques
par agitation turbulente νT et moléculaire ν est directement proportionnel au nombre de Reynolds à l’émission Re0 = U0 D0 /ν. Commentez ce résultat.
4
Diffusion moléculaire ou diffusion turbulente
On considère un volume cubique rempli d’air de côté L = 3 m (Fig.2). Une portion de l’une des
facettes du cube est constituée par une surface chauffante de hauteur h = 0.1 m. La température de
la plaque diffère de la température de l’air Tair = 293 K contenu dans le volume de ∆T = 10 K.
La diffusivité thermique du fluide est α = 2 × 10−5 m2 /s. Estimer le temps nécessaire à la diffusion
de la chaleur dans cette enceinte. On envisagera successivement un processus de diffusion moléculaire
en l’absence de tout écoulement, puis un processus de diffusion turbulente, associé à la convection
naturelle sur la plaque.
Fig. 2 – Pièce cubique de côté L chauffée par une plaque de hauteur h.
5
Autour du diagramme de Moody
Le profil de vitesse pour un écoulement turbulent dans une conduite lisse est donné en fonction
des grandeurs u+ et y + par :
u+ = y +
u+ = 5 ln y + − 3.05
u+ = 2.5 ln y + + 5.5
p
p
avec u+ = u/ τp /ρ et y + = y τp /ρ/ν.
2
0 ≤ y+ ≤ 5
5 ≤ y + ≤ 30
(2)
(3)
y + ≥ 30
(4)
Fig. 3 – Diagramme de Moody donnant le coefficient de frottement en fonction du nombre de Reynolds
pour des écoulements en conduite (Moody, 1944).
1. Réécrire ces profils en terme de facteur de frottement f = 2gDh/(LV 2 ) (avec h = ∆P/(ρg)) et
de nombre de Reynolds Re = V D/ν pour pouvoir utiliser facilement le diagramme de Moody
∆P
(Fig.3). On rappelle que la contrainte pariétale est donnée par τp = D
4 L .
3
3
−6
2
2. On considère un écoulement d’eau (ρ = 10 kg/m , ν = 10 m /s) avec une vitesse moyenne
de V = 10 m/s dans une conduite lisse de diamètre D = 10 cm.
– Trouver l’épaisseur de la sous-couche visqueuse.
– Quand commence la zone logarithmique ?
– Écrire le profil de vitesse u en fonction de la distance à la paroi y.
– Quelles sont les valeurs de la vitesse à la fin de la sous-couche visqueuse, au début de la zone
logarithmique et au centre de la conduite ?
3. Il a été montré expérimentalement que l’écoulement turbulent dans une conduite rugueuse n’est
pas affecté par les rugosités si celles-ci ont une taille qui n’excède pas la taille de la sous-couche
visqueuse. Ainsi, les parois sont dites hydrodynamiquement lisses pour :
ε+ =
εu∗
≤5
ν
(5)
où ε est la taille moyenne des rugosités. Pour un écoulement turbulent dans une conduite de
5 cm de diamètre et un nombre de Reynolds de Re = 50000, trouver la hauteur maximale des
rugosités pour que le régime soit hydrodynamiquement lisse.
6
Échelles caractéristiques d’un écoulement turbulent
On considère un écoulement turbulent ayant pour vitesse et échelle caractéristiques U = 30 m/s,
L = 12.5 cm. Les fluctuations de vitesse sont de l’ordre de 20% de la vitesse moyenne. La viscosité
cinématique est ν = 1.5 × 10−5 m2 /s. Estimer les vitesses et les échelles caractéristiques de cet
écoulement à l’aide de la cascade de Kolmogorov.
3
7
Éstimation d’ordres de grandeur en écoulement turbulent
On considère l’écoulement dans le sillage d’un objet, de dimension typique L = 1 m, se déplaçant
à la vitesse V = 10 m/s dans de l’eau.
1. Est-il nécessaire de tenir compte de la turbulence pour modéliser cet écoulement ?
2. On estime que la macro-échelle de la turbulence, dans une zone située dans le sillage de l’objet,
est de l’ordre de 10% de la taille de l’objet. Calculez l’échelle la plus fine autorisée par la viscosité
du fluide (l’échelle de Kolmogorov) dans cette zone.
3. Estimez la dissipation massique dans cette zone. Commentez.
4. On veut simuler cet écoulement en résolvant correctement les échelles dissipatives. Combien
de points de grille seraient nécessaires sur un cube de volume L3 seulement ? Quelle mémoire
vive devrait être utilisée pour stocker les champs aux points de grille ? Ce calcul vous paraı̂t-il
faisable ? Si non, quelle(s) autres(s) solution(s) proposez-vous ?
8
Moyenne et moments d’une variable aléatoire gaussienne
Soit la variable aléatoire absolument continue X dont la densité de probabilité f (x) est donnée
par la loi de Laplace-Gauss :
f (x) =
(x−m)2
1
√ e− 2σ2
σ 2π
(6)
– Que vaut la moyenne de cette variable aléatoire ?
– Montrer que tous les moments d’ordre impair de cette variable aléatoire sont nuls.
– Calculer la variance de cette variable aléatoire.
– Quelles sont les valeurs des facteurs d’aplatissement et de dissymétrie ?
On rappelle que :
Z +∞
Z +∞
Z +∞
√
√
√
2
2
2
e−x dx = π
x2 e−x dx = π/2
x4 e−x dx = 3 π/4
−∞
9
−∞
(7)
−∞
Durée d’intégration pour l’estimation d’une moyenne
Un écoulement turbulent stationnaire présente une intensité turbulente Iu de 5%, pour une macro
échelle temporelle Λ de l’ordre de 2 secondes. Quelle doit être la durée d’intégration temporelle du
signal T pour espérer obtenir la vitesse moyenne avec une précision de 1% ? On donne la formule de
Tennekes et Lumley (1974) sur l’erreur quadratique moyenne pour une moyenne temporelle :
q
2
√
(UT − U )
Λ
∼ 2Iu
(8)
T
U
10
Bilans de masse en canal plan
On considère l’écoulement turbulent, permanent, en régime établi, d’un fluide visqueux isovolume
et non pesant entre deux plans parallèles, fixes, distants d’une largeur 2h. On suppose que le champ
est bidimensionnel plan.
– Montrer que le champ du vecteur vitesse moyenne se réduit à la seule composante U (y) suivant
la direction de l’écoulement. La coordonnée transversale est désignée par y.
– Que devient sous les mêmes hypothèses l’équation de continuité du mouvement d’agitation ?
– Le régime est maintenant établi au second ordre. Écrire, en projections, les équations de la
dynamique du mouvement moyen (équations de Reynolds).
– Montrer que, dans cet écoulement, les fluctuations de vitesse radiale et azimutale sont décorrélées.
4
11
Équations du champ moyen en écoulement de jet libre plan
On s’intéresse à un écoulement turbulent cisaillé mince libre de type jet bidimensionnel plan. On
suppose le mouvement permanent et le fluide isovolume non pesant. On se limite à la région du jet
où les hypothèses suivantes sont vérifiées :
– les tensions normales de Reynoldspsont du même ordre de grandeur.
– cet ordre de grandeur u0 (L) =
u2 en x = L du jet est proportionnel à la différence des
vitesses moyennes à cette même abscisse (∆U (L)) entre l’axe du jet et l’écoulement extérieur,
soit u0 = α∆U .
– les fluctuations croisées longitudinale et transversale sont corrélées :
uv
p '1
u2 v 2
p
(9)
L’expérience donne pour la loi d’expansion du jet δ(x) ' 0.1x, où δ est l’épaisseur du jet, distance
caractéristique de la diffusion transversale de cet écoulement.
– Déduire de l’équation de continuité du mouvement moyen la référence Vref (L) de la vitesse
moyenne transversale en x = L en fonction de ∆U (L).
– Estimer les termes d’advection, diffusions moléculaire et turbulente du bilan moyen de quantité
de mouvement longitudinale.
– En déduire que lorsque le nombre de Reynolds local ReL = ∆U × L/ν est grand, la contribution
des termes visqueux est négligeable dans ce bilan.
– En partant de l’estimation des termes de l’équation de la dynamique du mouvement moyen en
projection transversale, déduire de l’équivalence entre termes prépondérants d’advection et de
diffusion turbulente l’ordre de grandeur du coefficient α.
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Écoulement pleinement turbulent en canal
On considère un écoulement turbulent en canal pour Rem = Um d/ν = 105 . Le fluide est de l’eau
de viscosité cinématique ν = 1.14 × 10−6 m2 /s et la largeur du canal est d = 4 cm. Le coefficient de
frottement est égal à Cf = 4.4 × 10−3 .
Déterminer Um , u∗ /Um and Re∗ . Quelle est l’épaisseur 5δν de la sous-couche visqueuse en fonction
de d et en mm ?
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Couche limite sur une paroi
T. Von Kármán a suggéré que la longueur de mélange l variait comme :
l = χ|(
dU¯x
d2 U¯x
)/( 2 )|
dy
dy
(10)
En utilisant cette relation, déterminer le profil de vitesse près d’une paroi d’un écoulement de couche
limite sur une plaque plane.
14
Couche limite turbulente
Lors d’un écoulement sur une plaque plane, la couche limite laminaire subit une transition en une
couche limite turbulente lorsque cet écoulement va de l’amont à l’aval de la plaque plane. On observe
que le profil initialement parabolique dans le cas laminaire change en un profil en loi de puissance
1/7e dans le régime turbulent. Trouver l’épaisseur
de la couche limite turbulente si le flux de quantité
R
de mouvement dans la couche limite A = ρux ux ady (a la largeur de la couche limite) reste constant.
5
15
Bilan moyen de quantité de mouvement en écoulement en
conduite
Un fluide visqueux (ν) non pesant s’écoule dans un tuyau cylindrique de section circulaire (R). Le
régime étant pleinement turbulent, on suppose qu’en moyenne, le mouvement est non vrillé, à symétrie
de révolution et permanent. On s’intéresse à la zone de régime établi pour laquelle toute grandeur
statistique purement cinématique est invariante par translation suivant la direction de l’écoulement x.
– Déduire de l’équation de continuité que sans soufflage ni aspiration à la paroi, le champ de vitesse
moyenne se réduit à la seule composante non nulle U (r).
– Déduire des équations de conservation de quantité de mouvement en moyenne que la corrélation
vw est nulle. On donne :
0=−
1 ∂P
1 d(ruv)
d2 U
1 dU
−
+ ν( 2 +
)
ρ ∂x
r dr
dr
r dr
0=−
1 ∂P
1 d(rv 2 ) w2
−
+
ρ ∂r
r dr
r
dvw
vw
0=−
−2
dr
r
(11)
(12)
(13)
– Déduire de l’équation de la dynamique suivant r que le frottement total varie linéairement à
travers la section droite de la conduite. p
– On introduit la vitesse de frottement u∗ = τ0 /ρ. Exprimer le gradient longitudinal de pression
en fonction de u∗ , ainsi que le coefficient de frottement Λ = −D(dP /dx)/(0.5ρUref ), où D = 2R
est le diamètre de la conduite et Uref une référence de vitesse débitante.
16
Modèle k−² de turbulence de grille et mesure de la constante
C2ε
On considère une turbulence de grille. Dans le plan x1 = 0 est disposée une grille étendue dans
les directions x2 et x3 . L’écoulement moyen est dans la zone d’intérêt, derrière la grille, uniforme :
V = V1 e1 . L’expérience montre que la turbulence est stationnaire, et que son intensité est de l’ordre
de 5% au maximum. On s’intéresse à la décroissance de l’énergie cinétique turbulente derrière la grille.
On utilise pour cela le modèle k − ε. On suppose que les termes de diffusions visqueuse et turbulente
sont négligeables.
1. Explicitez sous ces hypothèses les équations d’évolution de l’énergie cinétique turbulente et de
la dissipation du modèle k − ε.
2. Les expériences indiquent que, à partir d’une certaine distance δ de la grille, l’énergie cinétique
turbulente décroı̂t de façon algébrique : k = k0 x−n
avec n = 1.09. Montrez que ceci est cohérent
1
avec le modèle précédent, et que cela permet une mesure de la constante C2ε .
3. Justifiez a posteriori que les termes de diffusion et dispersion sont négligeables dans les équations
de l’énergie cinétique turbulente et de la dissipation.
17
Jet turbulent axisymétrique
On considère un jet turbulent axisymétrique (Fig.4) et on se place dans la région où la turbulence est pleinement développée, c’est à dire à une distance d’au moins 15D (D diamètre du jet).
L’écoulement est supposé stationnaire et le fluide est incompressible.
Le problème comporte deux échelles de vitesse moyenne V et U et de longueur δ et L suivant les
directions radiale r et axiale z respectivement. On suppose qu’une seule échelle de vitesse u0 permet
d’estimer les vitesses turbulentes. L’élargissement du jet est supposé lent, autrement dit les variations
sont plus faibles dans la direction axiale que dans la direction radiale. Il est à noter que le nombre de
Reynolds Re = U δ/ν vaut entre 104 et 106 dans un jet turbulent.
6
Fig. 4 – Schéma de l’écoulement moyen d’un jet axisymétrique.
1. Simplifiez l’équation de continuité ci-dessous :
1 ∂(rUr ) 1 ∂Uθ
∂Uz
+
+
=0
r ∂r
r ∂θ
∂z
(14)
2. En raisonnant sur les ordres de grandeurs, en déduire une relation donnant V en fonction de δ,
L et U . Qu’en déduisez vous sur l’ordre de grandeur de V par rapport à U ?
3. On considère léquation moyennée de la dynamique dans la direction radiale :
Ur
u02 − u02
∂Ur
∂Ur
1 ∂P
∂u02
∂u0r u0z
1 ∂ ∂Ur
∂ 2 Ur
Ur
r
θ
+ Uz
=−
−
−
− r
+ ν(
(r
)+
− 2 ) (15)
2
∂r
∂z
ρ ∂r
∂r
∂z
r
r ∂r ∂r
∂z
r
02
On supposera que u02
r ' uθ . En raisonnant sur les ordres de grandeurs, simplifiez cette équation
et montrez que :
(16)
P + ρu02
r = P∞
4. On considère maintenant l’équation moyennée de la dynamique dans la direction axiale :
Ur
∂Uz
∂Uz
1 ∂P
1 ∂(ru0r u0z ) ∂u02
1 ∂ ∂Uz
∂ 2 Uz
z
+ Uz
=−
−
−
+ ν(
(r
)+
)
∂r
∂z
ρ ∂z
r
∂r
∂z
r ∂r ∂r
∂z 2
(17)
En utilisant la question précédente et toujours en raisonnant sur les ordres de grandeurs de
chaque terme, simplifiez cette équation et montrez que :
1 ∂(rUr Uz ) ∂(Uz Uz )
1 ∂(ru0r u0z )
+
=−
r
∂r
∂z
r
∂r
5. Soit I la quantité de mouvement définie par :
Z ∞
ρUz2 2πrdr
I=
(18)
(19)
0
Montrez que la quantité de mouvement I selon z se conserve dans une section du jet, c’est à
dire que : dI/dz = 0.
7