MECA 338 Mécanique des fluides (incompressible) Sixi`eme

MECA 338
Mécanique des fluides (incompressible)
Sixième séance d’exercices
Exercice 1 : Diffusion du tourbillon ”ω” (Fluide incompressible)
Supposons avoir à l’instant t = 0 un tourbillon linéaire concentré de circulation Γ
et dirigé selon l’axe Oz d’un système Oxyz.
z
y
x
1. Supposons que le tourbillon soit immergé dans un fluide visqueux, déterminer
en fonction du temps t et de la coordonnée radiale r le champ de vitesse
résultant
2. Calculer le flux de tourbillon à travers le plan Oxy. Que peut- on conclure.
Exercice 2
On considère l’écoulement d’un fluide incompressible au voisinage d’un point d’arrêt
(écoulement plan et permanent). Le fluide occupe la région y > 0 et baigne la paroi
y=0
y
x
1. Le fluide étant supposé non-visqueux, calculer les composantes de la vitesse.
2. Le fluide est visqueux. Le champ des vitesses est de la forme suivante
(
0
u = xf (y)
v = −f (y)
Former l’équation différentielle (E) à laquelle satisfait la fonction f (y).
3. Comment calculer la pression si l’on suppose qu’elle est fonction décroissante
2 2
de x2 ( ρp = − a 2x + b(y))
0
4. Montrer que l’on peut ramener (E) à l’équation (E ) suivante
000
00
02
φ + φφ − φ + 1 = 0
en posant ky = η et f = mφ, k et m étant deux constantes à déterminer.
Par ailleurs, lorsqu’on cherche les solutions similaires des équations de la
couche limite, on trouve que seuls les écoulements du type u = cxm donnent lieu à de telles solutions. La fonction de courant non dimensionnelle
obéit alors à l’équation
000
00
f + ff +
2m
02
(1 − f ) = 0
m+1
m
Ceci correspond à l’écoulement autour d’un coin de demi-angle m+1
π (cela
s’obtient facilement à partir de la théorie des écoulements potentiels).
Dans le cas qui nous occupe, le demi-angle est égal π2 (i.e m = 1) et la fonction
f (fonction de courant non- dimensionnelle) s’identifie à la fonction φ. On
constate alors que ces deux fonctions satisfont exactement à la même équation,
c’est à dire que la solution des équations de la couche limite est identique à la
solution des équations complètes de Navier-Stokes.
5. On vérifie également que dans la solution exacte
la viscosité cinématique.
∂p
∂y
est infiniment petit avec
Exercice 3 : Fluide incompressible
Hz et une
Une plaque plane oscille dans son plan avec une fréquence f = 100
2π
−1
◦
amplitude u0 = 20 ms . Elle est en contact avec l’air à 0 C et 760 mm Hg.
1. A quelle distance y1 de la plaque les déplacements de l’air se font-ils avec une
vitesse égale à 1% de la vitesse maximale de la paroi ?
2. A quelle distance y2 de la plaque, l’oscillation du fluide est-elle pour la première
fois en phase avec le mouvement de la paroi ?
3. Quelle est la force de frottement agissant sur l’unité de surface de la plaque
oscillante ?
4. Calculer la valeur moyenne dans le temps de la dissipation d’énergie au cours
du mouvement considéré.
NB : µ = 16.8 10−6 Kgm−1 s−1
ν = 13.0 10−6 m2 s−1
Exercice 4
Deux disques circulaires plans de rayon R sont disposés parallèlement l’un au dessus
de l’autre. L’espace h entre les disques est rempli d’un fluide incompressible.
Z
U0
R
h
Le disque supérieur se rapproche du disque inférieur à la vitesse constante U0 en
chassant le fluide. La pression extérieure p0 est contante.
En supposant h petit devant R, le mouvement du fluide éjecté peut être considéré
à symétrie axiale; l’écoulement est alors pratiquement radial. En conséquence, on
r
r
peut admettre Vz Vr et ∂V
∂V
. De plus, on traite le cas où h varie lentement
∂r
∂z
dans le temps, ce qui permet de négliger les termes d’inertie dans les équations.
1. Ecrire les équations qui régissent le mouvement du fluide ainsi que les conditions aux limites.
2. Trouver le profil de la vitesse radiale et le profil de la pression.
3. En déduire la force de résistance totale agissant sur le disque.
Exercice 5
Considérer un écoulement axial laminaire établi
1. Entre deux cylindres de rayon r et R (r < R)
2. A l’intérieur d’un cylindre de rayon R
• Déterminer la distribution des vitesses
• Comparer les distributions 2. et 1. pour
r
R
= 0.001