Mécanique des fluides PC* Lycée Hoche Pascale Piquemal 08/12 Viscosité des fluides Table 1 – Viscosités dynamique et cinématique eau air huile d’olive miel sang η en Pl 10−3 1, 8 10−5 ' 0, 1 ' 10 4 10−3 µ en kg.m−3 103 1, 3 9 102 1, 4 103 103 ν en m2 .s−1 10−6 1, 5 10−5 10−4 7 10−3 4 10−6 La viscosité cinématique d’un gaz est du même ordre de grandeur que son coefficient d’autodiffusion D et que sa diffusivité thermique Dth . Sujet 1 : Chute d’une bille dans la glycérine Bille de rayon r = 1 cm, pour la glycérine η = 1, 49 P l et µ = 1, 26 103 kg.m−3 . Evaluer la vitesse limite de la bille, calculer le nombre de Reynolds et vérifier la validité du calcul. Sujet 2 : Frottement fluide sur une plaque en mouvement rectiligne uniforme Un fluide incompressible ( masse volumique µ , viscosité dynamique η , µη = ν = 10−6 m2 s−1 ) est limité par deux plaques supposées infinies, confondues avec les plans d’équation z = 0 et z = L. Le fluide et les deux plaques étant au repos à t < 0, on met en mouvement la plaque z = 0 avec une vitesse −−−→ → à partir de t = 0. On note P (z, t) le champ de pression et − → le champ constante U − u v(M, t) = v(z, t)− u x x des vitesses dans le fluide. ∂2v dP 1/ En isolant un pavé de côtés dx, dy et dz, établir les relations : ∂v ∂t = ν ∂z 2 et dz = −µg. 2/ Prévoir sans calcul l’ordre de grandeur de la durée τ d’établissement d’un écoulement stationnaire. A.N : L = 1 cm et L = 1 m. 3/ On se place en régime stationnaire. Déterminer v(z) et la force subie par un élément de surface de la plaque mobile. Commenter. Sujet 3 : Freinage d’une plaque en mouvement sinusoı̈dal. Ondes de cisaillement dans un fluide → Une plaque confondue avec le plan d’équation z=0 est en translation avec une vitesse U cos(ωt)− u x η −6 2 −1 dans un fluide incompressible ( masse volumique µ , viscosité dynamique η , µ = ν = 10 m s ) −−−−→ → le champ des remplissant tout l’espace. On note P (z, t) le champ de pression et v(M, t) = v(z, t)− u x vitesses dans le fluide. dP ∂2v 1/ En isolant un pavé de côtés dx, dy et dz, établir les relations : ∂v ∂t = ν ∂z 2 et dz = −µg. En déduire sans calculs l’ordre de grandeur de l’épaisseur δ de la couche limite, domaine hors duquel le fluide reste quasiment au repos. A.N : f = 100 Hz. 2/ On cherche en régime sinusoı̈dal forcé un champ de vitesses de la forme v(z, t) = <(UM expj(ωt−kz)) . Déterminer k et en déduire les expressions de v(z > 0, t) et v(z < 0, t). 3/ En déduire l’expression de la force subie par l’unité de surface de la plaque et la puissance de cette force ; commenter. Sujet 4 : Ecoulement d’un liquide sur un plan incliné Considérons une couche, d’épaisseur h, d’un liquide incompressible visqueux, de viscosité η et de masse volumique µ, en écoulement sur un plan incliné faisant avec l’horizontale un angle α et on note la ligne de plus grande pente Ox dirigée vers le bas . En écoulement stationnaire, celui-ci est unidirectionnel et 1 PC* Lycée Hoche Mécanique des fluides Pascale Piquemal 08/12 la seule composante non nulle de la vitesse v ne dépend que de z, soit vx (z). La surface libre correspond à z = 0 et le plan supportant la couche à z = h. 1/ Justifier que ∂P ∂x = 0. 2/ Déterminer les conditions limites en termes de vitesse en négligeant Oz la viscosité de l’air. 3/ En déduire le profil de vitesse d’un tel écoulement. Identifier le type Ox a d’écoulement observé en fonction de α. 4/ La couche de liquide est de largeur L dans la direction Oy. Cette lar- Figure 1 – Ecoulement geur est très grande devant la profondeur h. Calculer le débit volumique d’un liquide sur un plan inet en déduire la vitesse moyenne de l’écoulement. Pourquoi ce débit est-il cliné constant ? 5/ A.N : calculer la vitesse moyenne de l’écoulement pour une rivière de h = 1 m présentant une différence d’altitude de 50 m après un parcours de 500 km. Ce résultat est-il réaliste ? puis pour une couche d’eau de h = 2 mm sur un plan incliné de 1◦ par rapport à l’horizontale. Réponses partielles : Conditions limites, penser à l’annulation de la contrainte tangentielle en z = 0. 2 −z 2 ) v(z) = µg sin α(h . C’est irréaliste pour la rivière car écoulement parfait sauf dans la couche limite. 2η En revanche pour la couche d’eau, tout l’écoulement est visqueux. Sujet 5 : Ecoulement de Navier-Stokes entre deux cylindres de révolution coaxiaux On considère deux cylindres de révolution coaxiaux, d’axe Oz, de rayons R1 et R2 avec R1 < R2 . On étudie un écoulement stationnaire, longitudinal, d’un fluide visqueux de viscosité dynamique η , incompressible, de masse volumique µ . La perte de charge sur une longueur L de conduite est notée ∆p = p(z = 0) − p(z = L). 1/ Démontrer que v ne dépend que de r en coordonnées cylindriques d’axe Oz. 2/ Démontrer que p est fonction linéaire de la seule variable z. 3/ En déduire le champ des vitesses v(r) en fonction de la perte de charge par unité de longueur ∆p/L. 4/ Calculer le débit massique le long de la conduite. 5/ Comment peut-on reformuler le problème si l’on néglige la viscosité ? Réponse partielle : v(z) = r2 0 − ∆P 4Lη + clnr + c . Sujet 6 : Ecoulement de Poiseuille cylindrique Un tel écoulement, dit de Poiseuille, correspond à celui d’un liquide visqueux (de viscosité η et de masse volumique µ) dans une conduite cylindrique de rayon R et d’axe Oz. On néglige les effets de la pesanteur. 1/ Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ de la forme → − → et un champ de pression de la forme P (M ) = p(r, z). L’écoulement est stationnaire et v = v(r, z)− u z incompressible. Exploiter l’incompressiblilité de l’écoulement. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à une particule de fluide. 2/ En déduire le champ des vitesses en tenant compte des conditions aux limites sur la paroi de la conduite. En déduire l’expression du débit volumique en fonction des pressions à l’entrée et à la sortie pour une conduite de longueur L. Comparer à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme. 3/ A.N : Calculer la chute de pression dans une artère de longueur L = 1 m, de rayon R = 0, 5 cm et de débit volumique 80 cm3 s−1 , sachant que la viscosité du sang vaut η = 4 10−3 P l. Comparer avec la différence de pression que maintient le coeur ? p = (12 − 8) cm = 4 cm de mercure. 2 −r 2 ) πR4 et Dv = ∆P8Lη . Réponses : v(z) = ∆P (R 4Lη 2