Université se Caen-Basse Normandie Master 1 UFR des Sciences 2010 - 2011 Mécanique des Fluides TD3 – Analyse dimensionnelle et Similitude Analyse dimensionnelle Exercice III.1 : La chute de pression ∆p dans une conduite cylindrique dépend de la vitesse moyenne de l’écoulement U, du diamètre D, de langueur L et de la rugosité ε de conduite ; elle dépend aussi des propriétés de fluide. Établir une relation donnant ∆p en fonction des paramètres de l’écoulement. Exercice III.2 : Quels sont les paramètres sur lesquels la force de frottement F exercée par un fluide en mouvement à la vitesse U sur une plaque plane, de longueur L et de largeur H ? L’écoulement est supposé parallèle à L. Établir une relation donnant F en fonction de ces paramètres. Exercice III.3 : Soit une hélice de diamètre D en rotation à une vitesse angulaire ω dans un fluide en mouvement à la vitesse U. Développer une expression adimensionnelle pour la force de poussé engendrée par cette hélice. Exercice III.4 : Dans un canal à fond horizontal, on désir étudier une caractéristique géométrique linéaire X d’un ressaut formé par l’écoulement d’un liquide sous une vanne de hauteur a soumise à une charge H, le tirant d’eau à l’aval ayant pour valeur y. X H y a 1111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 Étudier dimensionnellement le problème, en négligeant les force de viscosité et de tension superficielle. Exercice III.5 : On admet que la surélévation permanente h d’un lac due au vent dépend de la profondeur moyenne H de ce lac, de sa longueur ℓ, du poids volumique ̟ de 1 l’eau et la force tangentielle τ due au vent. Donner une formule générale exprimant h. Exercice III.6 : On s’intéresse aux ondes de gravité (respectivement capillaires) qui se produisent lors d’un équilibre entre une force déstabilisant, l’inertie, et une force de rappel, la gravité (respectivement la force de tension superficielle σ (N/m)). La vitesse de propagation d’onde (célérité d’onde) de gravité, notée c, dépend en général de l’accélération de gravité g, de la longueur d’onde λ, de la densité du liquide ρ et de l’amplitude a d’onde : c = f (g, λ, ρ, a). La vitesse (ou célérité) d’onde de petite amplitude ne dépend pas de a et la relation se réduit à : c = f (g, ρ, λ). En utilisant l’analyse dimensionnel déterminer cette relation. Déterminer la relation correspondante pour les ondes capillaires. Similitude Exercice III.7 : Une maquette de digue, constituée par un empilement de blocs de béton de masse unitaire égale à 1 kg, est soumis la houle produit dans un laboratoire. cette maquette ne subit pas de dommages tant que la hauteur H de la houle ne dépasse pas 0,30 m. Quel devra être la masse minimale des bloc de même béton constituant la digue prototype pour que celle-ci résiste à une houle géométriquement et hydrodynamiquement semblable, et pouvant atteindre 6 m de hauteur. Exercice III.8 : Un modèle réduit destiné à l’étude des marées a été construit en adoptant l’échelle de 1/500 en plan et 1/80 en hauteur. Quelle doit être, sur ce modèle, la durée d’une marée dont la période serait, dans la nature, égale à 12h25 mn ? Même question pour des échelles de 1/50000 en plan et 1/500 en hauteur. Exercice III.9 : En régime laminaire, l’équation régissant les écoulements transitoires 2 de gaz dans un conduit de faible section peut se metter sous la forme D 2 ∂ 2 p2 ∂p =C ∂t 64µ ∂x2 où p est la pression à l’instant t et au point d’abscisse x, D le diamètre du conduit, C une constante dépendant de la forme de la section et µ la viscosité dynamique du gaz. 1. Trouver la relation qui doit lier les échelles de similitude : λ= x1 , x2 α= p1 , p2 θ= t1 , t2 δ= D1 D2 2. En déduire quelle serait l’influence d’une diminution de longueur de moitié et d’une multiplication du diamètre par 3 sur le temps d’établissement d’une même pression d’un même gaz. Que deviendrait ce temps s’il était initialement égal à 6 mois? Exercice III.10 : À fin de déterminer la puissance nécessaire Pp pour motoriser un dirigeable de longueur Lp à une vitesse Up = 6 m/s dans l’air (ρair = 1.205 kg/m3 , µair = 1.8 × 10−5 kg/m.s.), on utilise une maquette de longueur Lm = Lp /30, à mettre en mouvement dans l’eau, ρeau = 1000 kg/m3 , µau = 1.0 × 10−3 kg/m.s. 1. Déterminer la vitesse de maquette Um . 2. Si la mesure de la force de frottement subie par la maquette donne Fm = 2700 N, estimer la force de frottement Fp à laquelle le prototype serait subi. 3. Calculer Pp . 3