Théorème de Gauss. Équations locales de l`électrostatique

Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Chapitre II
Théorème de Gauss.
Formulation locale de
l’électrostatique
II.a.
1.
Angles solides
Rappel sur les angles plans
L’angle solide est une généralisation à l’espace de la notion d’angle plan. Revenons sur cette dernière
notion. Considérons un point O, une courbe plane orientée C et un élément de longueur d̄` au voisinage
d’un point M de la courbe. Utilisons les coordonnées cylindriques (ρ, φ) (~
uz est choisi perpendiculairement
~
au plan de la courbe) et introduisons le vecteur tangent t et le vecteur normal ~n à la courbe ; ~t est dans le sens
~z ) est une base orthonormée directe. Le segment orienté d̄` est vu
de C et ~n est choisi de telle sorte que (~n, ~t, u
~φ ) = (~nb, u
~ρ ). Comme u
~ρ · ~n = cos α,
depuis O sous un angle (plan) orienté dφ et d̄` cos α = ρ dφ, où α = (~tb, u
dφ =
~ρ
d̄` ~n · u
ρ
(II.1)
(en radians). Considérons deux demi-droites D1 et D2 passant par O et faisant des angles φ1 et φ2 (dans
~x . Quels que soient les points initial et final sur D1 et D2 , respectivement, et quelle que soit la
[0, 2 π[) avec u
courbe C continue reliant ces points,
Z
~ρ
d̄` ~n · u
= φ2 − φ1 + 2 k π,
(II.2)
ρ
C
où k = k+ − k− et k+ (resp. k− ) est le nombre de tours complets de C autour de O dans le sens trigonométrique
(resp. horaire).
En particulier, si la courbe est fermée
et fait un unique tour complet autour de O dans
R
R le sens trigonométrique, elle est vue sous un angle C dφ = 2 π. Si elle est fermée mais n’enlace pas O, C dφ = 0 (qui n’est
donc pas toujours l’angle sous lequel la courbe est vue).
2.
Définition et propriétés des angles solides
Généralisons au cas d’une surface S dans l’espace. En chaque point de cette surface, il existe deux vecteurs
unitaires normaux à la surface et opposés. Complétons S par une surface S0 de telle sorte que S ∪ S0 soit
fermée et choissons en tout point M ∈ S le vecteur unitaire ~n dirigé vers l’extérieur de S ∪ S0 . Le choix de S0
étant arbitraire, la direction de ~n l’est aussi mais cette procédure assure que le sens de ~n est cohérent en tout
point. (Une autre façon de faire, équivalente, est de choisir ~n arbitrairement en un certain point M ∈ S parmi
les deux possibilités et de prendre ~n en tout autre point M0 ∈ S de telle sorte que ~n(M) et ~n(M0 ) pointent du
même côté de la surface S.)
Un élément de surface d̄S de S est vu depuis O sous un angle solide
d̄Ω =
~r
d̄S ~n · u
.
(II.3)
r2
Cette quantité est en stéradians (symbole « sr », unité sans dimension). L’angle solide sous lequel S est vue
est
"
Ω=
d̄Ω.
(II.4)
S
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(Du moins, si aucune partie de S ne fait écran à une autre, vues depuis O.)
Considérons un demi-cône K de sommet O (au sens mathématique, c.-à-d. l’ensemble des demi-droites
issues de O s’appuyant sur un contour fermé ; il ne s’agit pas forcément d’un demi-cône de révolution). Pour
toute surface S s’appuyant sur K et ayant la même orientation, Ω a la même valeur.
Si d̄S est un élément de sphère de centre O et de rayon r compris dans [θ, θ + dθ[ × [φ, φ + dφ[,
d̄S = r2 sin θ dθ dφ
(II.5)
~r , on obtient
et ~n = ±~
ur , donc en choisissant ~n = u
d̄Ω = sin θ dθ dφ.
~z ) et de demi-angle θ est vue depuis O sous un angle solide
Une calotte sphérique d’axe (O, u
Z θ Z 2π
d̄Ω = 2 π (1 − cos θ).
Ωcalotte (θ) =
θ0 =0
φ=0
(II.6)
(II.7)
Avec θ = π, on obtient le résultat pour la sphère entière ※1 :
Ωsphère = 4 π.
(II.8)
De même pour toute surface fermée contenant O et ne se coupant pas.
Pour une surface fermée ne contenant pas O, Ω = 0.
II.b.
1.
Forme intégrale du théorème de Gauss
Flux. Énoncé du théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique à travers une surface S est
"
~
~ · d̄S,
Φ=
E
S
(II.9)
~ B d̄S ~n ※2 . Le flux élémentaire du champ produit par une charge Qi placée en O à travers une surface
où d̄S
d̄S à une distance r de O est
Qi
Qi
~r · d̄S ~n =
d̄Φi =
u
d̄Ωi ,
(II.10)
4 π ε0
4 π ε0 r2
où d̄Ωi est l’angle solide sous lequel d̄S est vue depuis Qi . Le flux total du champ produit par Qi à travers
S est donc
Qi
Ωi .
(II.11)
Φi =
4 π ε0
Pour une surface S fermée, on a donc



Qi /ε0
Φi = 

0
si Qi est à l’intérieur de S,
si Qi est à l’extérieur de S.
(II.12)
Le flux à travers une surface fermée du champ électrique engendré par un ensemble de charges Q1 , . . .,
Qn est donc
X
1 X
Φtot =
Φi =
Qi .
(II.13)
ε0
i ¦ Qi ∈S
i
On obtient ainsi la forme intégrale du théorème de Gauss :
Q
~ = int ,
~ · d̄S
E
ε0
(II.14)
où Qint est la charge à l’intérieur de la surface fermée S.
2.
Application : distribution à symétrie sphérique
La forme intégrale du théorème de Gauss permet de calculer aisément et directement (sans passer par V)
le champ électrique si la distribution de charges est suffisamment symétrique.
Considérons une densité volumique de charge ρ ne dépendant que de la distance r à un point O. Une
telle distribution est à symétrie sphérique :
1.
2.
La sphère étant une surface fermée, on doit prendre ~n vers l’extérieur, soit ~n = +~
ur .
~ n’est pas une variation infinitésimale d’un vecteur S,
~ mais une quantité vectorielle infinitésimale.
Attention, d̄S
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elle est symétrique par rapport à tout plan contenant O, donc en n’importe quel point M de coordonnées
~
~ = Er (r, θ, φ) u
~r ;
sphériques (r, θ, φ), E(M)
appartient à tous les plans contenant O et M. On a donc E
~z ), donc Er ne dépend pas de φ ;
I ρ est invariante par rotation autour de (O, u
~φ ), donc Er ne dépend pas de θ.
I ρ est invariante par rotation autour de (O, u
~
~
On a donc E = Er (r) ur .
~ = d̄S u
~r ,
Appliquons maintenant le théorème de Gauss à la sphère de centre O contenant M. On a d̄S
donc
Qint (r)
~=
~ · d̄S
~r · d̄S u
~r = Er (r)
E
Er (r) u
d̄S = Er (r) 4 π r2 =
,
(II.15)
ε0
I
où Qint (r) est la charge à l’intérieur de la sphère de Gauss, d’où
~ = Qint (r) u
~r .
E
4 π ε0 r2
(II.16)
On a retrouvé, dans le cas plus général d’une distribution de charges à symétrie sphérique, le résultat déjà
obtenu pour une sphère et une boule uniformément chargée.
II.c.
1.
Forme locale des équations de l’électrostatique
Forme locale du théorème de Gauss
Sans prétention de rigueur, esquissons d’abord une démonstration du théorème de Ostrogradski/Green.
Considérons d’abord un pavé droit infinitésimal [x, x + dx] × [y, y + dy] × [z, z + dz] et calculons le flux d’un
vecteur ~f à travers la surface de celui-ci. On a
d̄Φ ≈ ~f (x, y, z) · dy dz (−~
ux ) + ~f (x + dx, y, z) · dy dz (+~
ux ) + ~f (x, y, z) · dx dz (−~
uy )
+ ~f (x, y + dy, z) · dx dz (+~
u y ) + ~f (x, y, z) · dx dy (−~
uz ) + ~f (x, y, z + dz) · dx dy (+~
uz )
= ( fx [x + dx, y, z] − fx [x, y, z]) dy dz + ( f y [x, y + dy, z] − f y [x, y, z]) dx dz
+ ( fz [x, y, z + dz] − fz [x, y, z]) dx dy.
(II.17)
Or fx (x + dx, y, z) − fx (x, y, z) ≈ ∂ fx /∂x dx et de même pour f y et fz en y + dy et z + dz, donc
!
∂ fy
∂ fx
∂ fz
d̄Φ ≈
+
+
dx dy dz = div ~f d̄τ,
∂x
∂y
∂z
(II.18)
où d̄τ = dx dy dz est le volume du pavé et
~ · ~f =
div ~f = ∇
∂ fx
∂x
+
∂ fy
∂y
+
∂ fz
∂z
(II.19)
est la divergence de ~f .
Pour une surface S fermée divisée en pavés infinitésimaux, le flux à travers S est égal à la somme des
flux à travers chacun des pavés, car les flux à travers les surfaces des pavés tournées vers l’intérieur de S se
compensent (prendre deux pavés contigus). Pour toute fonction vectorielle ~f , on a donc
$
~f · d̄S
~=
div ~f d̄τ
(théorème d’Ostrogradski/Green),
(II.20)
S
V
où V est le volume délimité par S.
Appliquons ceci au théorème de Gauss. On a
$
$
ρ
~=
~ · d̄S
~ d̄τ = Qint =
d̄τ.
E
div E
ε
ε
0
S
V 0
V
Ceci étant vrai pour toute surface fermée, on en déduit la forme locale du théorème de Gauss :
ρ
~=
div E
.
ε0
(II.21)
(II.22)
“Fonction” δ (hors programme)
Bien que formulée en terme de densité volumique de charge, l’expression (II.22) s’applique aussi à une
distribution discrète de charges Q1 , . . ., Qn . Notons ~r1 , . . ., ~rn les vecteurs positions de celles-ci. L’expression
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de ρ(~r ) est alors
ρ(~r ) =
X
Qi δ(3) (~r − ~ri ),
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(II.23)
i
où
δ(3) (~r − ~ri ) B δ(x − xi ) δ(y − yi ) δ(z − zi )
(II.24)
et δ est la “fonction” de Dirac (on dit parfois aussi un « pic de Dirac », voire un « Dirac » tout court). Celle-ci
possède les propriétés suivantes :
I δ(0) “=” ∞ ;
I Rδ(x) “=” 0 si x , 0 ;
∞
I x=−∞ δ(x) dx = 1.
On a donc bien
I ρ(~r ) = 0 si, pour tout i, ~r , ~ri ;
I ρ(~
#ri ) = sgn(Qi ) × ∞ ;
I
Q δ(3) (~r − ~ri ) d̄τ = Qi .
f i
La notation « δ(x) = . . . » utilisée dans les deux premières “propriétés” est abusive car δ n’est en fait pas une
fonction (la valeur δ(x) n’est pas définie), mais une distribution, c.-à-d. un objet mathématique généralisant
la notion de fonction. Plus précisément, δ est l’objet tel que, pour toute fonction ϕ de R dans R indéfiniment
dérivable et nulle hors d’un intervalle borné de R,
Z ∞
ϕ(x) δ(x) dx = ϕ(0).
(II.25)
x=−∞
Or, pour toute suite de réels (α j ) tendant vers 0 quand j → ∞ et pour toute suite de fonctions ( f j ) de R dans
R∞
R αj
R+ , nulles hors de [−α j , α j ] et telles que x=−∞ f j (x) dx = x=−α f j (x) dx = 1 (donc de plus en plus piquées vers
j
0), on a
Z
Z
αj
∞
ϕ(x) f j (x) dx = lim
lim
j→∞
j→∞
x=−∞
ϕ(x) f j (x) dx = φ(0).
(II.26)
x=−α j
Bien que lim j→0 f j ne soit pas définie, au sens de la convergence ponctuelle de fonctions, puisque lim j→0 f j (0) =
∞, les expressions (II.25) et (II.26) permettent de considérer δ comme la limite de la suite de fonctions ( f j ) au
sens des distributions.
2.
~ Théorème de Helmholtz
Rotationnel de E.
~ à partir de ρ, car on peut rajouter à E
~
Remarquer que la forme locale ne suffit pas pour déterminer E
~
~
~x − y u
~ y ) et obtenir une autre solution
n’importe quelle fonction f de divergence nulle (par exemple f = x u
~ (cf. § II.b.2), mais, dans le cas
de (II.22). Des considérations de symétrie peuvent permettre de préciser E
général, il faut compléter la forme locale du théorème de Gauss par d’autres contraintes.
Une première contrainte est fournie par l’équation (I.25) du chapitre I. Sur tout chemin fermé C, on a
H
~ · d~r = 0. Or, pour toute fonction vectorielle ~f ,
E
C
I
"
−→ ~ ~
~f · d~r =
rot f · d̄S
(théorème de Stokes),
(II.27)
C
S
~ est orienté de manière cohérente avec
où S est une surface quelconque s’appuyant sur C. Le vecteur d̄S
l’orientation de C. On utilise pour cela la règle suivante.
Règle de la main droite : si l’index est placé tangentiellement à la courbe et qu’il pointe dans le sens adopté
pour celle-ci, avec la paume vers l’intérieur de la courbe, alors la surface est orientée dans le sens
indiqué par le pouce.
−−→
−→
Le vecteur rot ~f (« curl ~f » en anglais) est le rotationnel de ~f :




!
∂ f y 
∂ fx
∂ fz
∂ fx 
 ∂ f y
−→ ~ ~ ~  ∂ fz


 u
~x +
~y + 
~z .
−
−
u
−
(II.28)
rot f = ∇ × f = 
u
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
~ Pour toute courbe fermée,
Appliquons le théorème de Stokes à E.
"
I
−→ ~ ~
~ · d~r = 0,
rot E · d̄S =
E
C
S
donc, en tout point,
−→ ~ ~
rot E = 0.
26
(II.29)
(II.30)
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(Cette relation n’est pas vraie hors du cadre de l’électrostatique.)
Les équations (II.22) et (II.30) ne suffisent toujours pas à déterminer le champ électrostatique de manière
~ les satisfait, alors E+~
~ cte (par exemple) aussi. La dernière contrainte porte sur le comportement
unique, car si E
~ doit tendre vers ~0 à l’infini.
asymptotique du champ : E
Théorème de Helmholtz
Si ρ tend vers 0 plus vite que 1/r2 (donc en particulier si la distribution de charges est spatialement bornée),
il existe une et une seule solution telle que
~ = ρ/ε0 ;
I div E
−→ ~ ~
I rot E = 0 ;
~ = ~0.
I limr→∞ E
−−→
~ = −−
Cette solution est donnée par E
grad V, où
$
ρ(P)
1
V(M) =
d̄τ.
(II.31)
4 π ε0
P PM
On peut se demander quel est l’intérêt de remplacer la loi de Coulomb par un formulation locale constituée
→~ ~
~ = q E,
~ div E
~ = ρ/ε0 , −
~ à l’infini. En électrostatique, il est faible. En
de trois lois (F
rot E
= 0) et une condition sur E
revanche, la formulation locale s’adapte aisément au cas de charges mobiles (il s’agit alors d’électrodynamique),
contrairement à la loi de Coulomb (qui n’est vraie que pour des charges statiques, rappelons-le). Par ailleurs,
une formulation locale est naturelle pour décrire la propagation de proche en proche, par l’intermédiaire d’un
champ, de l’interaction électromagnétique.
3.
Équations de Poisson et de Laplace
−−−→
~ ·∇
~f =∇
~ 2 f = ∆ f , où
Pour toute fonction scalaire f , div(grad f ) = ∇
∆f =
∂2 f
+
∂2 f
+
∂2 f
∂x2
∂y2
∂z2
−−→
~ = ρ/ε0 et E
~ = −−
est le laplacien scalaire. De div E
grad V, on déduit l’équation de Poisson :
ρ
∆V = −
.
ε0
(II.32)
(II.33)
Dans une zone vide de charges, l’équation de Poisson se réduit à l’équation de Laplace :
∆V = 0.
(II.34)
Cette équation apparaît dans différentes branches de la physique. Ses solutions obéissent au théorème de
l’extrémum : V n’admet pas d’extrémum dans toute zone où ∆V = 0. Un maximum ou un minimum de V
ne peut donc être atteint qu’à la surface d’un volume vide de charges.
Une conséquence de ce théorème est le théorème d’unicité suivant : le potentiel V est déterminé de manière
−−−→
unique par la distribution des charges dans un volume V et par la valeur de V ou celle de grad V · ~n ※3 en
tout point P de la surface S délimitant ce volume, ~n étant un vecteur normal à la surface en P. Donc, si on
trouve, par n’importe quel moyen, une solution de l’équation ∆V = −ρ/ε0 dans V satisfaisant les conditions
sur V à la surface de V, cette solution est la bonne.
II.d.
Énergie électrostatique
Calculons à nouveau l’énergie potentielle électrostatique interne d’une distribution D de charges. On a
$
$
1
ε0
~ V d̄τ,
(D)
=
Eint
ρ(P)
V(P)
d̄τ
=
(div E)
(II.35)
p
2
2
P∈V
V
~ sont le potentiel
où V est le volume contenant D, ρ est la densité volumique de charge propre à D, et V et E
et le champ produits par D. Or, pour toute fonction vectorielle ~f et toute fonction scalaire g, on a
−−−→
(div ~f ) g = div( ~f g) − ~f · grad g.
(II.36)
3.
−−−→
Une contrainte sur V en certains points de S et sur grad V · ~n en les autres points de S suffit à fixer V dans V. Néanmoins, V
n’est déterminé qu’à une constante additive près si V n’est connu en aucun point de S. Remarquer par ailleurs que, au signe près,
−−−→
grad V · ~n est la composante du champ électrique normale à la surface.
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Par ailleurs, d’après le théorème d’Ostrogradski,
$
~f g · d̄S,
~
div( ~f g) d̄τ =
(II.37)
S
V
~ est un élément de surface de S. On a donc
où S est la surface délimitant le volume V et d̄S
$
−−→
ε0
~ − ε0
~
~·−
Eint
(D)
=
E
V
·
d̄
S
E
grad V d̄τ
(II.38)
p
2
2
S
V
$
ε0
~ + ε0
~ V · d̄S
=
(II.39)
E
E2 d̄τ
2
2
S
V
−−→
~ = −−
puisque E
grad V.
L’équation (II.35), et par conséquent (II.38) aussi, reste valable pour tout volume V0 délimité par une surface
0
S englobant V, puisque (pour D) ρ = 0 dans V0 \ V. Considérons en particulier une sphère S0 de rayon r, dont
le centre O est à l’intérieur de la distribution bornée de charges. À grande distance, le champ et le potentiel
créés par chaque charge sont respectivement en O(1/r2 ) ※4 et en O(1/r). Il en est donc de même du champ et
~ V = O(1/r3 ). La surface de la sphère valant 4 π r2 ,
du potentiel total à la surface de la sphère, donc, sur S, E
~ = O 1 −r→∞
~ V · d̄S
−−→ 0.
(II.40)
E
r
S0
La sphère de rayon ∞ englobant l’Univers entier (« f »), on a
$
ε0 2
int
Ep (D) =
E (P) d̄τ.
P∈f 2
(II.41)
La quantité ε0 E2 (P)/2 porte le nom de densité volumique d’énergie électrostatique en P. Remarquer que
la valeur de Eint
et déduite de l’équation (II.35) est toujours positive, alors
p donnée par l’expression (II.41)
P
que celle d’une distribution discrète, (1/2) i qi Vi (équation (I.79)), peut être négative. Ceci vient du fait la
première prend en compte l’énergie propre de chaque charge, contrairement à la deuxième.
Considérons deux distributions de charges D1 et D2 (pouvant éventuellement occuper le même volume
mais constituer de charges distinctes), caractérisées par les densités volumiques de charge ρ1 et ρ2 et produisant
~ 1 et E
~ 2 . Le champ produit par D1 ∪ D2 est E
~1 + E
~ 2 , donc
les champs E
$
ε0
int
~1 + E
~ 2 )2 d̄τ = Eint
Eint
(E
(II.42)
p (D1 ∪ D2 ) =
p (D1 ) + Ep (D2 ) + Ep (D1 ↔ D2 ),
2
f
où
Eint
p (D1 )
ε0
=
2
$
P∈f
Eint
p (D2 )
E21 (P) d̄τ,
$
et
Ep (D1 ↔ D2 ) = ε0
ε0
=
2
$
P∈f
E22 (P) d̄τ
~ 1 (P) · E
~ 2 (P) d̄τ
E
(II.43)
(II.44)
P∈f
sont, respectivement, l’énergie propre de D1 , celle de D2 et l’énergie d’interaction entre D1 et D2 .
II.e.
Relations de passage
Considérons une nappe N chargée, c.-à-d. une distribution surfacique de charges, séparant une zone Z1
d’une zone Z2 . Notons σ la densité surfacique de charge en un point M de N et ~n1→2 le vecteur normal à N
~ 1 et E
~ 2 dans Z1 et Z2 au voisinage de M.
en M dirigé de Z1 vers Z2 . Comparons les champs électriques E
1.
~
Composante normale de E
Pour cela, appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de révolution S d’axe (M, ~n1→2 ), traversé par
la nappe et fermé dans Z1 et Z2 , respectivement, par des surfaces S1 et S2 perpendiculaires à ~n1→2 . L’aire S
de S1 et S2 est infinitésimale. La longueur du cylindre selon ~n1→2 est de h/2 dans Z1 et de même dans Z2 .
Notons S3 la surface parallèle à ~n1→2 . On a S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , donc
"
"
"
~=
~+
~+
~ = Qint = σ S ,
~ · d̄S
~ · d̄S
~ · d̄S
~ · d̄S
(II.45)
E
E
E
E
ε0
ε0
S
S1
S2
S3
4.
~ = O(1/r2 ) quand r → ∞ » signifie qu’il existe deux réels K et R tels que, pour tout point M, si r B OM > R, on
Pour le champ, « E
~
a kE(M)k
6 K/r2 .
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car l’aire de la portion de nappe à l’intérieur du cylindre vaut !S.
~ = 0, donc
~ · d̄S
Faisons tendre la hauteur du cylindre vers 0. On a limh→0 S E
3
!
"
"
σS
~
~
~
~
= lim
E · d̄S +
E · d̄S ,
h→0
ε0
S1
S2
~ = d̄S (−~n1→2 ), donc
Sur S1 , d̄S
"
"
"
~
~
~
~⊥ + E
~ ∥ ) · d̄S ~n1→2 = −E⊥ S,
lim
E · d̄S = −
E1 · d̄S ~n1→2 = −
(E
1
1
1
h→0
S1
S1
S1
(II.46)
(II.47)
~ 1 ·~n1→2 , la composante E
~ ⊥ B E⊥ ~n1→2 est perpendiculaire à la nappe N et la composante E
~1 − E
~⊥
~∥ B E
où E⊥
BE
1
1
1
1
1
~ = d̄S (+~n1→2 ), donc
est parallèle à N. De même, sur S2 , d̄S
"
~ = +E⊥ S.
~ · d̄S
(II.48)
lim
E
2
h→0
S2
En divisant par S, on obtient finalement
⊥
E⊥
2 − E1 =
2.
σ
.
ε0
(II.49)
~
Composante tangentielle de E
~ ∥ et E
~ ∥ , considérons un rectangle orienté C de centre M, traversé par la nappe,
Pour établir la relation entre E
2
1
et dont les côtés opposés C1 et C2 , de longueur infinitésimale `, sont perpendiculaires à ~n1→2 . La longueur
des côtés C3 et C4 , parallèles à ~n1→2 , est de h/2 dans Z1 et Z2 . On a C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 , donc
I
Z
Z
Z
Z
~
~
~
~
~ · d~r = 0.
E · d~r =
E · d~r +
E · d~r +
E · d~r +
E
(II.50)
C
C1
C2
C3
C4
~ · d~r = limh→0
~ · d~r = 0, donc
E
E
C4
!
Z
Z
~
~
lim
E · d~r +
E · d~r = 0.
Faisons tendre h vers 0. On a limh→0
R
R
C3
h→0
C1
C2
Notons ~t le vecteur unitaire normal à ~n1→2 orientant C1 . On a d~r = d̄` ~t sur C1 et d~r = − d̄` ~t sur C2 .
Z
Z
~ · d~r = ` E
~ 1 · ~t et lim
~ · d~r = −` E
~ 2 · ~t,
lim
E
E
h→0
h→0
C1
C2
(II.51)
(II.52)
~ 2 · ~t − E
~ 1 · ~t = 0. Ceci étant vrai pour tout ~t perpendiculaire à ~n1→2 ,
donc E
~∥ − E
~ ∥ = ~0.
E
2
1
3.
(II.53)
~ à la traversée d’une nappe de chargée
Discontinuité de E
En combinant (II.49) et (II.53), on obtient
~2 − E
~ 1 = σ ~n1→2 ,
E
ε0
(II.54)
~ 1 et E
~ 2 sont les champs au
où σ est la densité surfacique de charge en un point M d’une nappe de charges, E
~
voisinage de M dans les zones Z1 et Z2 séparées par la nappe, et n1→2 est un vecteur unitaire, normal à la
nappe en M et orienté de Z1 vers Z2 .
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