1. Angle solide 2. Flux du champ électrique et relation avec les

IFIPS-Optronique
2004-2005
TD 5 : Thorme de Gauss
1. Angle solide
a) Donner l'angle solide dΩ sous lequel on voit un élément de surface dS d'une
sphère depuis son centre O. En déduire l'angle solide sous lequel on voit une calotte
sphérique depuis O.
b) Donner l'angle solide dΩ sous lequel on voit une couronne élémentaire d'un
disque depuis un point O de son axe. En déduire l'angle solide sous lequel on voit
la totalité du disque depuis O. Comparer le résultat à celui obtenu dans le cas de
la calotte sphérique de l'exercice précédent. Conclure.
c) Calculer l'angle solide sous lequel on voit une face d'un cube depuis son centre.
d) Une charge Q est uniformément répartie sur la surface d'un carré de côté 2a.
Donner, avec un minimum de calculs, l'expression du champ électrique créé par le
carré au point de l'axe Oz situé à la distance a du carré.
2. Flux du champ électrique et relation avec les angles solides
a) On place une charge ponctuelle q au centre d'un cube. Calculer le ux du
champ électrique à travers l'une des faces du cube, puis le ux du champ électrique
à travers le cube. Retrouver le théorème de Gauss.
b) On place une charge ponctuelle q au centre d'un cylindre de hauteur H et
de rayon R. Calculer le ux du champ électrique à travers la surface latérale du
cylindre.
3. Théorème de Gauss
Dans chacun des exercices proposés, il est possible d'utiliser la forme intégrale et/ou
la forme locale du théorème de Gauss. On pourra s'essayer à la forme locale par
exemple dans l'exercice (c).
a) Une sphère de rayon R est chargée en volume avec la densité ρ(r) = ρ0 r/R.
Calculer le champ électrique créé en tout point de l'espace. Donner ensuite le
potentiel V (r) pour tout r.
b) Un cylindre de longueur innie et de rayon R porte la densité surfacique de
charges uniforme σ . Calculer le champ électrique puis le potentiel créés en tout
point de l'espace.
c) Une plaque plane d'extension innie et d'épaisseur e est chargée uniformément
en volume avec la densité ρ. Calculer le champ électrique puis le potentiel créés en
tout point de l'espace.
1
d) Même question pour une plaque d'extension innie et inniment mince portant
la densité surfacique de charges σ . Vérier que l'on obtient les mêmes résultats en
faisant tendre l'épaisseur de la plaque de la question précédente vers 0.
e) On considère deux plaques planes innies et inniment minces parallèles. L'une
porte la densité surfacique de charges σ et l'autre la densité surfacique de charges
−σ . Déduire de l'exercice (d) le champ électrique en tout point.
4. Actions exercées par un l inni chargé sur un dipôle
Déterminer les actions mécaniques (moment des forces et force) exercées par le
champ d'un l rectiligne inni portant la charge linéique uniforme λ, sur un dipôle
placé en M dans un plan perpendiculaire au l comme indiqué ci dessous.
y
P
z
eq
a
er
q
O
x
Rappel : opérateur divergence
~ =
En cartésiennes : div(E)
∂Ex
∂x
~ =
En cylindriques : div(E)
1 ∂(rEr )
r ∂r
+
1 ∂Eθ
r ∂θ
1 ∂(r2 Er )
r2
∂r
+
1 ∂(sin θEθ )
r sin θ
∂θ
~ =
En sphériques : div(E)
+
∂Ey
∂y
+
2
∂Ez
∂z
+
∂Ez
∂z
+
1 ∂Eφ
r sin θ ∂φ