Changement de corps en algèbre linéaire

But :
Dans tout le texte, K désigne un corps et L une extension de K.
On va étudier les problèmes :
(1) Soit K un corps,
][XP K
un polynôme. Peut-on trouver une extension L de K dans
laquelle P admet au moins une racine ? Dans laquelle P est scindé ?
(2) En changeant de corps, change t’on les propriétés d’une matrice ?
I R-similitude et C-similitude
Théorème :
Deux matrices réelles A, B sont R-semblables si et seulement si elles sont C-semblables.
Démonstration :
Si
1
PBPA
où
)(R
n
GLP
, alors A et B sont C-semblables car
)()( CR nn GLGL 
.
Réciproquement, supposons que
1
PBPA
où
)(C
n
GLP
.
On peut écrire
21 iPPP 
où
1
P
et
2
P
sont réelles (pas forcément inversibles).
Comme
)()( 2121 iPPBiPPA 
, on a
11 BPAP 
et
22 BPAP 
.
Si l’une des deux matrices réelles est inversible, on peut conclure.
Sinon, il existe
Rx
tel que
21 xPP
est inversible (réelle), et on peut encore conclure.
En effet,
)det()( 21 xPPxf 
est une fonction polynomiale réelle, et n’est pas nulle car
0)det()(  Pif
, donc elle prend des valeurs non nulles sur R.
II Invariance du rang
Théorème :
On a
)()( ,, LK pnpn MM 
et le rang d’une matrice
)(
,K pn
MA
est le même que l’on
considère que A est à coefficients dans K ou dans L.
Ainsi, le rang d’une matrice à coefficients dans K peut s’obtenir aussi bien à l’aide
d’opérations élémentaires à coefficients dans K que dans L.
Démonstration :
On note r le rang de A sur K. On a alors
QPJAr
avec
)()( LK nn GLGLP
et
)()( LK pp GLGLQ
donc le rang de A sur L est aussi r.
Corollaire :
Soit
0AX
un système de n équations à p inconnues à coefficients dans K de rang r.
Si
p
rp
XX K
),...(1
est une base de l’espace des solutions dans K, c’en est aussi une de
l’espace des solutions dans L.
Démonstration :
Les
i
X
sont aussi des solutions à coefficients dans L et la matrice P représentant
),...( 1rp XX 
dans la base canonique de
p
L
est aussi celle qui représente
),...( 1rp XX 
dans la
base canonique de
p
K
. P est donc de rang
rp
sur L. Autrement dit,
),...( 1rp XX 
est libre
dans le L-ev
p
L
; c’est donc une base de l’espace des solutions de
0AX
dans
p
L
puisque
cet espace est aussi de dimension
rp
car le rang de A est le même sur K et L.
III Invariance du polynôme caractéristique et du polynôme minimal
Changement de corps en algèbre linéaire

Théorème :
On a
)()( LK nn MM 
et les polynômes caractéristique et minimal de
)(K
n
MA
sont
les mêmes que l’on considère que A est à coefficients dans K ou dans L.
Démonstration :
Pour le polynôme caractéristique, c’est évident…
Soit
][][ XXm LK 
le polynôme minimal de A sur K et M son polynôme minimal
sur L. On a
0)(
~Am
, donc M divise m dans
][XL
.
Par ailleurs, si d est le degré de m, la famille
),...,( 1d
nAAI
est libre dans le K-ev
)(K
n
M
, donc la matrice
)(
,
2K
dn
MP
qui représente cette famille dans la base canonique est
de rang d. Mais P représente aussi la famille
),...,( 1d
nAAI
dans la base canonique de
)(L
n
M
(les deux bases sont constituées des mêmes matrices
ji
E,
). La propriété d’invariance du rang
montre alors que le rang de P sur L est aussi d donc que
),...,( 1d
nAAI
est libre dans le L-ev
)(L
n
M
, et donc A n’a pas de polynôme annulateur non nul dans
][
1X d
L
, ce qui impose
dM deg
et donc
mM 
IV Extension du I.
Théorème :
Si K est infini, deux matrices
BA,
de
)(K
n
M
semblables sur L sont semblables sur K.
L’autre sens est toujours aussi évident.
Démonstration :
Supposons A et B L-semblables. Alors le système
PBAP 
est un système de
2
N
équations à coefficients dans K d’inconnues les coordonnées
)( ,ji P
de P dans la base
canonique. Comme ce système est représenté par une matrice à coefficients dans K
(dépendants des coefficients de A et B), le rang est le même que l’on regarde les solutions
)(K
n
MP
ou dans
)(L
n
M
.
Soit
N
PP,...
1
une base de solutions du système
PBAP 
dans
)(K
n
M
. La matrice qui
représente
),...( 1N PP
dans la base canonique de
)(K
n
M
est de rang N donc la matrice qui
représente
),...( 1N PP
dans la base canonique de
)(L
n
M
aussi. Ainsi,
),...( 1N PP
est un système
libre de solutions de
PBAP 
dans
)(L
n
M
. Comme le système est de rang N, c’en est une
base.
Autrement dit, toute solution
)(L
n
MP
de
PBAP 
s’écrit
N
iii PxP 1
avec
L
i
x
.
Or, ce système a une solution inversible donc la fonction polynomiale
N
iiiN Pxxxf 1
1det),...(
n’est pas la fonction nulle sur
N
L
, ce qui veut dire que
),...( 1N xxf
est somme de termes
N
n
N
nxax ...
1
1
(où
Ka
car s’exprimant à l’aide des
j
P
) dont au moins l’un
est non nul. On conclut en utilisant le lemme :
Lemme :
Si
],...[ 1n XXf K
est un polynôme non nul et si K est infini, alors la fonction
polynomiale
KK 
N
f:
~
n’est pas identiquement nulle.
En effet, montrons le résultat par récurrence sur N :
Le cas
1N
est connu pour K infini.
Soit
2N
, supposons la propriété vraie pour
1N
. Soit
],...[ 1n XXf K
. On écrit
alors
d
i
i
Ni XPf 1
avec
],...[11  Ni XXP K
. L’un au moins des
i
P
est non nul.

Donc, par hypothèse de récurrence, on peut fixer
),...(11  n aaa
tel que
d
i
i
Ni XaP
1)(
ne
soit pas le polynôme nul ; alors, comme K est infini, il existe x tel que
0)(
1
d
i
i
ixaP
, et dans
ce cas
0),,...( 11 
xaaf n
ce qui achève la récurrence.
Ainsi, pour en revenir au théorème, le lemme montre que
PBAP 
a une solution
inversible, disons
N
iii PxP 1
où
K i xni ,,1
Donc
1
PBPA
pour une matrice
)(K
n
GLP
.
V Construction de corps
Théorème :
Soit K un corps, et
][XP K
. Alors il existe une extension L de degré fini de K dans
laquelle P est scindé.
Démonstration :
Par récurrence (forte) sur
mPd  deg
où m est la somme des multiplicités des racines
de P dans K.
Pour
0d
, P est scindé sur K, donc
KL 
convient.
Soit
1d
, supposons la propriété vraie pour tout corps K et tout
dd '
et soit
][XP K
tel que
mPd  deg
. Soit R un facteur irréductible de P de degré
2r
. Alors
l’anneau quotient
])[./(][ XRX KKL 
est un corps, et c’est une extension de dimension r de
K, dont
1
,...,1 r XX
est une K-base. En plus, on a
0P
dans L donc
X
est racine de P.
Ainsi, sur L, P a une racine de plus et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à
][XP L
: on peut trouver une extension finie M de L, donc aussi de K dans laquelle P est
scindé.
VI Applications
 Pour toute matrice
)(K
n
MA
, il existe L, extension finie de K, dans laquelle A est
trigonalisable.
 Le polynôme minimal d’une matrice
)(K
n
MA
divise son polynôme
caractéristique (Cayley–Hamilton) ; de plus, les deux ont les mêmes facteurs
irréductibles dans
][XK
.
Démonstration :
Soit R un facteur irréductible de
A
min
dans
][XK
et L une extension finie de K dans
laquelle R est scindé. Si a est une racine de R, on a alors
0)(min a
A
, donc a est une valeur
propre de A dans L (car
A
min
est aussi le polynôme minimal de A sur L) et a est donc une
racine de
A
. Ainsi, R et
A
ne sont pas premiers entre eux dans
][XK
(on ne peut pas écrire
une relation de Bézout puisque
0)()(  aaR A
) donc R, qui est irréductible, divise
A
.
D’où le résultat.
 Soit
)(
,Z pn
MM 
. On suppose que
0MX
a une solution non nulle à coefficients
réels positifs. Alors il a une solution non nulle à coefficients dans N.
Démonstration :
Quitte à supprimer des colonnes de M, on peut supposer que
0MX
a une solution à
coefficients strictement positifs.
Soit
p
N
VV Q,...
1
une base de solutions rationnelles de
0MX
. Selon le corollaire du
II,
p
N
VV Q,...
1
est aussi une base de l’espace des solutions réelles de
0MX
. Par

hypothèse, il existe donc des réels
N
xx ,...
1
tels que
N
iiiVxX 1
est à coefficients strictement
positifs. Prenons pour tout
ni ,1
une suite
Nni nr ))((
de rationnels tendant vers
i
x
. Pour n
assez grand,
N
iii Vnr 1)(
, qui tend vers X, est un vecteur rationnel à coefficients strictement
positifs. En multipliant par un dénominateur commun des
)(nri
, on obtient une solution non
nulle à coefficients dans N.