Matrices, applications linéaires

Dixième feuille d’exercices.
bXc
Sur les applications linéaires.
Exercice 1. Soit ∆ : R[X ] → R[X ] l’application qui à un polynôme P associe son polynôme dérivé P 0 . Montrer qu’elle est linéaire, calculer son image et son noyau.
n
n
n
Exercice
¡ 2. Soit
¢ f : R → R une application linéaire telle que pour tout x ∈ R , la famille x, f (x) est liée. Montrer que f est une homothétie.
n
n
Exercice 3. Soit
application
linéaire. Soit x 0 un élément de Rn . On
¡ f : R2 → R une
¢
suppose que f (x 0 ), f (x 0 ), ..., f n (x 0 ) forme une base de Rn .
1. Montrer que f est surjective.
2. On admet que f est aussi injective. Montrer 1 qu’il existe (a 0 , ..., a n−1 ) ∈ Rn tel que
f n + a n−1 f n−1 + ... + a 1 f + a 0 Id = 0.
Exercice 4. Soit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel. Soient λ, µ deux
réels distincts. Montrer que les sous-espaces vectoriels suivants sont en somme directe :
ker( f − λId)
ker( f − µId)
Exercice 5. Soit E un espace vectoriel et f , g : E → E deux endomorphismes de E qui
commutent, c’est-à-dire que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que im( f ) et ker( f ) sont des sousespaces vectoriels stables par g .
Exercice 6. L’application Tr : Mn (R) → R est-elle un isomorphisme ?
Exercice 7. Soit A une matrice f : Mn (R) → Mn (R) l’application qui à une matrice M
associe La matrice AM . Est-ce une application linéaire ?
Exercice 8. Soient M et N les matrices suivantes :
µ
¶
µ
¶
a b
d −b
M=
N=
c d
−c a
1. Sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour ceux qui connaissent !
1
Q
Q
Dixième feuille.
1. Calculer le produit M N , puis donner une condition nécessaire et suffisante pour
que M soit inversible.
2. Dans ce cas, trouver explicitement l’inverse de M .
Exercice 9. Calculer les puissances A m de la matrice carrée n × n suivante :

0 1
 0 1


..

.



..
.





1
0
Exercice 10. Montrer que l’espace vectoriel engendré par GLn (R) est Mn (R).
Exercice 11. Soit φ : Mn (R) → R une application non nulle et multiplicative , c’est-àdire qui vérifie l’égalité suivante :
∀A, B ∈ Mn (R),
φ(AB ) = φ(A) × φ(B )
1. Calculer φ(Idn ). Montrer que si M est inversible, alors φ(M ) 6= 0.
2. Si A est nilpotente, calculer φ(A).
3. Montrer que si M n’est pas inversible, alors φ(M ) = 0 (utiliser le théorème du
rang et la question précédente).
2