Propriété : Pour tous nombres complexes a et b, et pour tout entier n

Propriété : Pour tous nombres complexes a et b, et pour tout entier n ≥ 1,
n
n
n
 n 
 n  n− k k
n −1
n
(a + b )n = a n +   a n −1 b +   a n − 2 b 2 + ... + 
 ab +b =∑   a b
k =0  k 
1 
2
 n − 1
n
Le nombre   est le coefficient du produit an – k bk dans le développement de (a + b)n,
k 
appelé binôme de Newton.
Démonstration : Utilisons une démonstration par récurrence.
• Initialisation : La formule est vérifiée pour n = 1.
1 
 1
En effet, le second membre   a +   b est égal au premier membre a + b.
0
 1
• Transmission : Supposons que la formule soit vraie au rang n - 1 (c’est-à-dire :
 n − 1 n −1  n − 1 n −1
 n − 1 n -k -1 k
 n − 1 n -1
n −1
b + ... + 
(a + b ) = 
 a +
 a b + ... + 
 a
 b .
 0 
 1 
 k 
 n − 1
Vérifions qu’elle l’est au rang n .
Pour obtenir (a + b)n, il suffit de multiplier ( a + b )
n −1
par (a + b).
Dans ( a + b ) , le terme a n −k b k s’obtient alors de deux façons :
n
 n − 1 n -k k −1
- soit en multipliant 
 a b par b,
 k − 1
 n − 1 n -k -1 k
- soit en multipliant 
b par a.
 a
 k 
 n   n − 1  n − 1
Or, d’après la propriété,   = 
+
.
 k   k   k − 1
n
Alors le coefficient de a n −k b k est bien   au rang n.
k 
• Conclusion :
n
n
 n 
n
n -1
n
( a + b ) = an +   an −1 b +   an -2 b2 + ... + 
 a b +b =
1
2
n
−
1
 
 


n
∑
k =0
 n  n -k k
  a b .
k 