Chapitre 6 Qu`est-ce qu`un polynôme

Qu’est-ce qu’un polynôme ?
Complément au chapitre «nombres complexes»
Chapitre 6
L’objectif de ce polycopié est de tenter de définir ce qu’est un polynôme, et surtout de préciser ce qui
peut donner le droit d’«identifier» les coefficients de deux polynômes, pour en finir avec l’identification
sauvage (qui sera sévèrement réprimée à l’avenir).
truc
Non-définition
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Considérons un polynôme, par exemple X 3 + 2X + 1. Notons-le P . On écrira donc :
P = X 3 + 2X − 3 ou P (X) = X 3 + 2X − 3.
Précisons d’abord ce qu’un polynôme n’est pas :
– Le polynôme P n’est pas un nombre, et ce que l’on note X non plus.
Par contre, si on note a un nombre réel ou complexe, on peut définir le nombre P (a) = a3 + 2a − 3.
Ainsi, pour a = 2, on obtient P (2) = 23 + 2 · 2 − 3 = 8 + 4 − 3 = 9.
– Le polynôme P n’est pas une équation, et X n’est pas une inconnue.
Ceci dit, il est bien sûr très intéressant de résoudre l’équation P (x) = 0, d’inconnue x réelle ou
complexe. Les racines de cette équation sont appelée les racines
du polynôme
P.
√
√
En l’occurence, ce sont (dans l’ordre décroissant) : 1, −3+2 3 et −3−2 3 .
– Enfin, le polynôme P n’est pas une fonction.
Cependant, si A est une partie de C, on associe tout naturellement à P une fonction, notée P̃ , de
A dans R (ou C), définie par : ∀a ∈ A, P̃ (a) = P (a) = a3 + 2a − 3.
On choisira souvent comme partie A un intervalle de R, ou l’ensemble des entiers naturels N.
Qu’est-ce donc que le polynôme P ? On peut dire que c’est une «expression formelle» en X (ce qui ne
dit pas grand-chose...). Quant à X, on l’appellera l’indéterminée, ce qui signifie qu’on ne cherchera
surtout pas à déterminer plus précisément ce que c’est !
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Définition
Un polynôme est une somme (finie) de puissances de l’indéterminée, chacune affectée d’un coefficient
(généralement réel ou complexe). Dire que Q est un polynôme à coefficients réels en l’indéterminée
X signifie donc qu’il existe un entier n et des réel a0 , a1 , a2 , . . . , an tels que :
Q = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n
Bien sûr, si on choisit un entier m strictement supérieur à n, on pourra tout aussi bien écrire :
Q = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n + an+1 X n+1 + . . . + am X m ,
en convenant que les coefficients an+1 , . . . , am sont tous nuls. Ainsi, on peut écrire :
P = −3 + 2X + 0.X 2 + 1.X 3 + 0.X 4 + 0.X 5 + . . .
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En pratique, pour éviter la référence à l’indice n, on notera parfois :
Q=
+∞
!
ak X k = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + ak X k + . . .
k=0
(étant entendu que la somme est en fait finie, c’est-à-dire que les coefficients ak sont tous nuls à
partir d’un certain rang).
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Egalité de deux polynômes
Un polynôme est donc essentiellement une suite de coefficients, tous nuls à partir d’un certain rang.
Par convention, on"dira que deux polynômes sont égaux s’ils ont les mêmes coefficients. Par exemple,
k
3
le polynôme Q = +∞
k=0 ak X est égal au polynôme P = X + 2X − 3 si, et seulement si :
a0 = −3, a1 = 2, a2 = 0, a3 = 1 et, pour tout entier k ! 4, ak = 0.
Attention : il ne suffit pas que les polynômes P et Q prennent les mêmes valeurs en quelques réels
pour qu’ils soient égaux. Par exemple, pour P = X 3 + 2X − 3 et Q = 3X 2 − 3, on a P $= Q, et
pourtant :
P (0) = Q(0) = −3, P (1) = Q(1) = 0, P (2) = Q(2) = 9.
Ecrire P (x) = Q(x) ou P (n) = Q(n) ne donne aucune indication sur P et Q si ces égalités ne sont
vraies que pour un nombre fini de valeurs de x ou de n.
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Un résultat important
On prouvera, plus tard dans l’année, le :
Théorème. Soient P et Q deux polynômes à coefficients réels ou complexes. Supposons qu’il existe
une partie infinie A de C telle que, pour tout élément a de A, P (a) = Q(a).
Alors les polynômes P et Q sont égaux, c’est-à-dire que leurs coefficients sont, deux à deux, égaux.
Par exemple, si on peut prouver que, pour tout entier naturel n, P (n) = Q(n), alors les polynômes P
et Q sont égaux : on peut «identifier» leurs coefficients.
Il est FORMELLEMENT INTERDIT d’«identifier» les coefficients de deux polynômes si on n’a pas
prouvé qu’ils sont égaux à l’aide de ce théorème.
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