Support de cours - Semestre 3

Définition 2.1
CHAPITRE I
Suites numériques
Une suite numérique .un / est dite convergente si elle admet une limite finie ` 2 R : un est arbitrairement proche de ` dès que n est
suffisamment grand.
On note alors
lim un D `
n!C1
1. Définitions
Définition 2.2
Une suite numérique .un /n admet C1 (resp. 1) pour limite si un
Une suite numérique est une application u de N dans R qui, à tout est arbitrairement grand (resp. petit) dès que n est suffisamment
grand.
entier n, fait correspondre un réel un :
Définition 1.1
uWN !R
On note alors
lim un D C1 (resp. 1)
n 7 ! un
On la note .un /n2N ou .un /n ou encore .un /.
Le domaine de définition de la suite peut être N ou une partie de
N, par exemple N . On note alors .un /n2N .
Une suite numérique peut être définie
par une expression en n :
n!C1
Les suites n’admettant pas de limite ou admettant une limite infinie
sont dites divergentes.
Proposition 2.3
Soit .un /n et .vn /n deux suites convergentes. On a
8 2 R, lim .un / D lim un
n!1
2
un D n C 1
par un terme initial u0 ou u1 et une formule de récurrence :
(
u0 D 1
unC1 D .n C 1/ un 8n 2 N
n!1
lim .un C vn / D lim un C lim vn
n!1
n!1
n!1
lim .un vn / D lim un lim vn
n!1
un
D
n!1 vn
lim
n!1
n!1
lim un
n!1
si lim vn ¤ 0.
lim vn
n!1
n!1
si 8n; un 6 vn alors lim un 6 lim vn
n!1
Définition 1.2
Théorème 2.4
Une suite numérique .un /n est dite
Toute suite .un / croissante et majorée est convergente. On a alors
croissante si
8n 2 N
unC1 > un
lim un D sup un
n!1
décroissante si
8n 2 N
n!1
unC1 6 un
n2N
Toute suite .vn / décroissante et minorée est convergente. On a alors
lim vn D inf vn
monotone si elle est croissante ou décroissante.
n!1
n2N
Remarques
Proposition 2.5
Pour étudier les variations d’une suite, il suffit d’étudier le signe de Soit .u / , .v / et .w / trois suites numériques. On suppose que
n n
n n
n n
unC1
un
pour tout n
Lorsque un > 0 pour tout n, on peut aussi comparer à 1 le rapport
unC1
un
les suites .un /n et .vn /n sont convergentes
lim un D lim vn D `
n!1
8n 2 N;
n!1
un 6 wn 6 vn
Alors la suite .wn /n converge et lim wn D `.
n!1
Théorème 2.6
Définition 1.3
Soit .un /n une suite définie par son premier terme et par une formule
de récurrence unC1 D f .un /. Si
Une suite numérique .un /n est dite
minorée s’il existe A 2 R tel que
8n 2 N
la suite .un /n est convergente
un > A
la fonction f est continue
alors la limite ` de la suite vérifie l’équation
majorée s’il existe B 2 R tel que
` D f .`/
8n 2 N
un 6 B
Proposition 2.7
bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
2. Convergence d’une suite
Soit f une fonction croissante et .un /n la suite définie par son premier terme et la relation de récurrence unC1 D f .un /. Alors
la suite .un / est monotone ;
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elle est croissante si u1 > u0 ;
elle est décroissante si u1 6 u0 .
Théorème 2.8
Soit .un /n et .vn /n deux suites adjacentes :
la suite .un /n est croissante
la suite .vn /n est décroissante
lim .un
vn / D 0
n!1
Alors les deux suites sont convergentes et ont la même limite.
3. Suites arithmétiques et géométriques
Définition 3.1
On appelle suite arithmétique de raison r 2 R, toute suite .un /n
définie par son terme initial u0 et par l’équation de récurrence :
unC1 D un C r
8n 2 N
On montre facilement que
8n 2 N;
un D u0 C nr
La suite .un /n est divergente (sauf pour r D 0).
Définition 3.2
On appelle suite géométrique de raison q 2 R, toute suite .un /n
définie par son terme initial u0 et par l’équation de récurrence :
unC1 D qun
8n 2 N
On montre facilement que
8n 2 N;
un D u0 q n
Proposition 3.3
Soit .un /n une suite géométrique de raison q 2 R.
si jqj < 1, la suite .un /n converge vers 0.
si jqj > 1, la suite diverge.
si q D 1, la suite est stationnaire et donc convergente.
si q D
1, la suite n’admet pas de limite, elle diverge.
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Si ` < 1 alors .†jun j/n est convergente.
CHAPITRE II
Séries numériques
Si ` > 1 alors .†un /n est divergente.
Si ` D 1, on ne peut pas conclure.
Proposition 2.6 (Critère de Cauchy)
Soit .un /n une suite numérique. On suppose que la limite suivante
existe :
p
1
` D lim jun j n D lim n jun j
1. Définitions
n!1
n!1
Définition 1.1
Soit .un /n une suite numérique. La série numérique de terme général
un est la suite .Sn /n des sommes partielles :
Sn D
Si ` < 1 alors .†jun j/n est convergente.
Si ` > 1 alors .†un /n est divergente.
Si ` D 1, on ne peut pas conclure.
n
X
uk D u0 C u1 C C un
kD0
Elle est notée .†un /n .
L’étude de la série de terme général un correspond à l’étude de la
suite .Sn /n .
Définition 1.2
La série .†un /n de terme général un est dite convergente si la suite
.Sn /n est convergente. On note alors
lim Sn D
n!1
C1
X
un
nD0
Proposition 2.7 (Série alternée)
Soit .un /n une suite à termes positifs décroissante et convergeant vers
0:
un # 0
Alors la série
X
converge.
3. Séries arithmétiques et géométriques
Proposition 3.1
Soit .un /n une suite arithmétique de raison r :
unC1 D un C r
2. Conditions de convergence
8n 2 N
La suite des sommes partielles .Sn /n est
Proposition 2.1 (Série de Riemann)
La série de Riemann
X 1
n˛
converge si et seulement si ˛ > 1.
En particulier
Sn D
n
X
uk D
kD0
nC1
.u0 C un /
2
La série (†un /n est divergente pour tout r.
X 1
X1
converge et
diverge
2
n
n
Proposition 2.2 (Condition nécessaire de convergence)
Si la série .†un /n converge, alors la suite .un /n tend vers 0.
.†un /n converge H) lim un D 0
Proposition 3.2
Soit .un /n une suite géométrique de raison q ¤ 1 :
unC1 D qun
Sn D
La réciproque est fausse.
8n 2 N
La suite des sommes partielles .Sn /n est
n!1
n
X
uk D
1
kD0
Proposition 2.3 (Comparaison de séries)
Soit .un /n et .vn /n deux suites vérifiant
0 6 un 6 vn
. 1/n un
8n 2 N
Si .†vn /n converge alors .†un /n converge aussi.
q nC1
u0
1 q
La série (†un /n converge SSI jqj < 1. On a alors
C1
X
nD0
un D
u0
1
q
Si .†un /n diverge alors .†vn /n diverge aussi.
Proposition 2.4 (Convergence absolue)
Si la série .†jun j/n converge alors .†un /n converge aussi.
La réciproque est fausse.
Proposition 2.5 (Critère de D’Alembert)
Soit .un /n une suite numérique. On suppose que la limite suivante
existe :
ˇ
ˇ
ˇ unC1 ˇ
ˇ
ˇ
` D lim ˇ
n!1
un ˇ
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Page 3
Définition 2.3
On dit que la serie .†fn /n converge normalement s’il existe une série
numérique convergente .†un /n telle que
CHAPITRE III
Suites et séries de fonctions
8n 2 N
8x 2 I
jfn .x/j 6 un
1. Suites de fonctions
La convergence normale entraîne la convergence uniforme (et
simple).
Définition 1.1
Proposition 2.4
Soit .fn /n une suite de fonctions réelles définies sur un intervalle I
et f W I ! R.
La suite .fn /n converge simplement vers f si
Soit .†fn /n une série convergeant normalement (ou uniformément)
vers S . Si chaque fonction fn est continue alors S est continue.
De plus, pour tout a; b 2 I , on a
8x 2 I
Z
lim fn .x/ D f .x/
b
S.t / dt D
n!C1
a
La suite .fn /n converge uniformément vers f si
lim supjfn .x/
n!C1 x2I
f .x/j D 0
Remarque
Si une suite .fn /n converge uniformément vers f alors elle
converge aussi simplement.
n!C1 a
fn .t / dt
nD0 a
Proposition 2.5
Soit .†fn /n une série de fonctions. On suppose que
chaque fonction fn est de classe C 1
la série .†fn /n converge simplement vers S
la série .†fn0 /n converge normalement (ou uniformément).
Alors S est dérivable et
Proposition 1.2
Soit .fn /n une suite de fonctions. On suppose que
chaque fonction fn est continue
.fn /n converge uniformément vers f
Alors f est continue.
De plus, pour tout a; b 2 I , on a
Z b
Z b
lim
fn .t / dt D
f .t / dt
C1
XZ b
S 0 .x/ D
C1
X
fn0 .x/
nD0
3. Séries entières
Définition 3.1
Une série entière est une série de fonctions de la forme
a
S.x/ D
Proposition 1.3
C1
X
an x n
nD0
Soit .fn /n une suite de fonctions. On suppose que
chaque fonction fn est de classe C 1
.fn /n converge simplement vers f
.fn0 /n converge uniformément .
Alors f est dérivable et
f 0 .x/ D lim fn0 .x/
n!1
2. Séries de fonctions
où .an /n est une suite de réels.
Proposition 3.2
Pour toute série entière S.x/, il existe un réel R > 0 tel que
pour tout x 2 R tel que jxj < R, la série converge ;
pour tout x 2 R tel que jxj > R, la série diverge.
Le réel R est appelé rayon de convergence. Si R D 0, la série ne
converge que pour x D 0. Si la série converge pour tout x 2 R, on
pose R D C1.
Définition 2.1
Proposition 3.3
Soit .fn /n une suite de fonctions réelles définies sur I . La série de Si une des limites suivantes existe
terme général fn est la suite .Sn /n des sommes partielles :
p
janC1 j
ou ` D lim n jan j
` D lim
n
n!C1
n!C1
jan j
X
Sn D
fk D f0 C f1 C C fn
alors
kD0
1
RD
Elle est notée .†fn /n .
`
Proposition 3.4
Définition 2.2
On dit que la série .†fn /n
converge simplement si la suite .Sn /n converge simplement.
converge uniformément si la suite .Sn /n converge uniformément.
Dans les deux cas, on note
S.x/ D lim Sn .x/ D
n!C1
C1
X
nD0
La somme S d’une série entière est continue et dérivable sur
 R; CRŒ. On a
C1
X
S 0 .x/ D
nan x n 1
nD1
et
x
Z
S.t / dt D
fn .x/
0
C1
X
an nC1
x
nC1
nD0
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Proposition 3.5 (Développements en séries entières usuels) x
e D
C1
X
xn
nŠ
nD0
R D C1
C1
X
1
D
. 1/n x n
1Cx
nD0
`n.1 C x/ D
sin.x/ D
cos.x/ D
RD1
C1
X
. 1/n nC1
x
nC1
nD0
C1
X
. 1/n
x 2nC1
.2n
C
1/Š
nD0
C1
X
. 1/n 2n
x
.2n/Š
nD0
RD1
R D C1
R D C1
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Définition 3.2
Soit f une fonction continue sur l’intervalle  1; b. On pose
CHAPITRE IV
Z
b
x! 1 x
1
1. Compléments : Fonctions équivalentes
b
Z
f .t / dt WD lim
Intégrales généralisées
f .t / dt
Lorsque la limite existe dans R, on dit que l’intégrale généralisée
existe ou est convergente.
Définition 1.1
On dit que deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de Remarque
Soit f une fonction continue sur R et c 2 R. On pose
a 2 R si
f .x/
Z C1
Z c
Z C1
lim
D1
x!a g.x/
f .t / dt WD
f .t / dt C
f .t / dt
1
1
c
On note alors
f g
L’intégrale généralisée de gauche converge si et seulement si les
a
deux intégrales généralisées de droite convergent.
Proposition 1.2
Si f1 f2 et g1 g2 alors
Proposition 3.3
a
a
L’intégrale
Z C1
f2
f1
1
f1 g1 f2 g2
dt
a
a
g1
g2
˛
t
1
2. Rappels et définitions
converge si et seulement si ˛ > 1.
Définition 2.1
Proposition 3.4 (Convergence absolue)
Soit f une fonction continue sur Œa; b. On appelle intégrale de f sur Soit f une fonction continue sur l’intervalle Œa; C1Œ. Si l’intégrale
Œa; b l’aire algébrique de la surface suivante :
Z C1
jf .t /j dt est convergente
f(x)
a
+
+
alors l’intégrale
0
a
b
C1
Z
–
f .t / dt
est aussi convergente.
a
On a alors
Z
ˇZ
ˇ
ˇ
ˇ
b
f .x/ dx
On la note
C1
a
a
ˇ Z
ˇ
f .t / dt ˇˇ 6
C1
jf .t /j dt
a
Proposition 3.5
Proposition 2.2
Soit f W Œa; b ! R une fonction continue et F W Œa; b ! R une Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle Œa; C1Œ telles
que
primitive de f sur Œa; b. Alors
0 6 f .x/ 6 g.x/
8x 2 Œa; C1Œ
Z b
b
f .x/ dx D F .x/ a D F .b/ F .a/ :
Alors
a
Z C1
Z C1
Définition 2.3
g.t / dt converge H)
f .t / dt converge
On appelle intégrale généralisée l’intégrale d’une fonction continue
a
a
sur un intervalle non borné, ou l’intégrale d’une fonction non bornée
et
sur un intervalle borné.
Z C1
Z C1
Par exemple
f
.t
/
dt
diverge
H)
g.t / dt diverge
Z 1
Z C1
a
a
1
1
dt
p dt
t2
t
0
1
Proposition 3.6
Soit f et g deux fonctions positives continues sur l’intervalle Œa; C1Œ
3. Cas d’un intervalle non borné
telles que
f g
Définition 3.1
C1
Soit f une fonction continue sur l’intervalle Œa; C1Œ. On pose
Alors
Z C1
Z x
Z C1
Z C1
f .t / dt WD lim
f .t / dt
f .t / dt et
g.t / dt
a
x!C1 a
a
a
Lorsque la limite existe dans R, on dit que l’intégrale généralisée sont de même nature.
existe ou est convergente.
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4. Cas d’une fonction non bornée sur un intervalle et
borné
b
Z
f .t / dt diverge H)
a
Définition 4.1
Soit f une fonction continue sur l’intervalle Œa; bŒ avec
b
Z
g.t / dt diverge
a
Proposition 4.6
Soit f et g deux fonctions positives continues sur l’intervalle Œa; bŒ
telles que
f g
lim f .x/ D ˙1
x!b
On pose
b
b
Z
x
Z
f .t / dt WD lim
f .t / dt
x!b
a
Alors
Z
a
b
f .t / dt
Lorsque la limite existe dans R, on dit que l’intégrale généralisée est
convergente.
b
Z
g.t / dt
et
a
a
sont de même nature.
Définition 4.2
Soit f une fonction continue sur l’intervalle a; b avec
lim f .x/ D ˙1
5. Application : la fonction €
Définition 5.1
x!aC
Pour tout ˛ > 0, on définit
On pose
b
Z
f .t / dt WD lim
€.˛/ D
f .t / dt
x!aC
a
Z
b
Z
e
x ˛ 1
x
dx
0
x
Lorsque la limite existe dans R, on dit que l’intégrale généralisée est
convergente.
C1
Proposition 5.2
Pour tout ˛ > 1, on a
Remarque
€.˛/ D .˛ 1/€.˛ 1/
Soit f une fonction continue sur l’intervalle a; bŒ non bornée en
a et b. Pour c 2 a; bŒ, on pose
Pour tout n 2 N , on a
Z b
Z c
Z b
€.n/ D .n 1/Š
f .t / dt WD
f .t / dt C
f .t / dt
a
a
c
L’intégrale généralisée de gauche converge si et seulement si les
deux intégrales généralisées de droite convergent.
Proposition 4.3
L’intégrale
1
1
dt
˛
0 t
converge si et seulement si ˛ < 1.
Z
Proposition 4.4 (Convergence absolue)
Soit f une fonction continue sur l’intervalle Œa; bŒ non bornée en b.
Si l’intégrale
Z b
jf .t /j dt est convergente
a
alors l’intégrale
Z
b
f .t / dt
est aussi convergente.
a
On a alors
ˇZ
ˇ Z
ˇ b
ˇ
b
ˇ
ˇ
jf .t /j dt
ˇ f .t / dt ˇ 6
ˇ a
ˇ
a
Proposition 4.5
Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle Œa; bŒ non bornées en b. On suppose que
8x 2 Œa; bŒ
0 6 f .x/ 6 g.x/
Alors
b
Z
b
Z
g.t / dt converge H)
a
f .t / dt converge
a
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Page 7
Le jacobien associé à ce changement de variables est
ˇ @x @x ˇ
ˇ
ˇ
@.x; y/
ˇ @u @v ˇ
J D
Dˇ
ˇ
ˇ @y @y ˇ
@.u; v/
CHAPITRE V
Intégrales multiples
@u
@v
Proposition 2.2
Avec les hypothèses et notations précédentes, on a
“
“
f .x; y/ dxdy D
f x.u; v/; y.u; v/ jJ j dudv
1. Intégrales doubles
Définition 1.1
Soit D R2 et f W D ! R une fonction continue. On appelle
D

intégrale double de f sur D le volume de l’espace compris entre D et
Exemple (Coordonnées polaires)
la surface S définie par les valeurs de f sur D :
On considère le changement de variables suivant :
z = f(x,y)
(
x.; / D cos S
On la note
y.; / D sin “
f .x; y/ dxdy
y
On a
D
.x; y/ 2 .R2 / ” .; / 2 RC Œ0; 2Œ
D
x
Le jacobien associé est J D > 0. On a alors
Proposition 1.2
Soit D D Œa; bŒc; d  et f W D ! R une fonction continue. Alors
!
“
Z
Z
b
f .x; y/ dy dx
a
c
d
Z
!
b
Z
D
a
f cos ; sin d d
0
0
3. Intégrales multiples
Soit D D Œa1 ; b1  Œa2 ; b2  Œan ; bn  et f W D ! R une
fonction continue de n variables. On définit
Z
Z
:::
2
f .x1 ; : : : ; xn / dx1 : : : dxn
D
D D .x; y/ 2 R2
)
a6x6b
avec
'.x/ 6 y 6
Z
b
Z
Z
bn
Z
1
:::
an
an
!
b1
f .x1 ; : : : ; xn / dx1 : : : dxn
!
1
dxn
a1
1
Cette définition se généralise à un domaine D plus général.
f .x; y/ dy dx
a
bn
D
!
.x/
f .x; y/ dxdy D
D
Z
.x/
et f W D ! R une fonction continue. Alors
“
f .x; y/ dxdy D
Proposition 1.3
Soit D R défini par
(
2
Z
Définition 3.1
f .x; y/ dx dy
c
C1
Z
R2
d
f .x; y/ dxdy D
D
“
Proposition 3.2 (Changement de variables)
On considère la changement de variables
'.x/
xi D xi .u1 ; : : : ; un /
Ce résultat reste valable en permutant les rôles de x et de y.
i D 1; : : : ; n
de sorte que
2. Changement de variables
x D .x1 ; : : : ; xn / 2 D ” u D .u1 ; : : : ; un / 2 
Rappels 2.1
Soit f W Œa; b ! R continue.
On considère le changement de variable x D x.t / tel que
Le jacobien associé est
ˇ
ˇ @x1
ˇ @u1
ˇ
@x
D ˇˇ :::
J D
@u
ˇ @xn
ˇ @u
x 2 Œa; b ” t 2 Œ˛; ˇ
On a alors
Z
b
Z
f .x/ dx D
a
1
ˇ
:::
:::
ˇ
@x1 ˇ
@un ˇ
:: ˇˇ
: ˇ
@xn ˇˇ
@u
n
f x.t / x 0 .t / dt
Pour f W D ! R continue, on a alors
˛
1
Il faut en outre que t 7! x.t / soit de classe C et que a D x.˛/ et
b D x.ˇ/.
Soit D R2 et et f W D ! R une fonction continue. On considère le changement de variables suivant
(
x D x.u; v/
avec .x; y/ 2 D ” .u; v/ 2 
y D y.u; v/
Z
Z
D
f .x1 ; : : : ; xn / dx1 : : : dxn
Z
Z
D f x1 .u/; : : : ; xn .u/ jJ j du1 : : : dun

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Page 8