ECE 1 - DV Questions classiques variables aléatoires 2014

ECE 1 - DV
Questions classiques variables aléatoires
2014/2015
Déterminer la loi d’une variable à densité X :
Déterminer la densité f de X.
On devra souvent calculer d’abord la fonction de répartition F puis utiliser la relation f = F 0 .
Montrer que X est une variable aléatoire à densité :
On note F la fonction de répartition de X.
• F est continue sur R,
• F est C 1 sur R (sauf éventuellement en un nombre fini de points).
Montrer que f est la densité de X variable aléatoire à densité :
On note F la fonction de répartition de X et on demande que f : R → R.
• f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R,
• F 0 (x) = f (x) sur R (sauf éventuellement en un nombre fini de points).
Calcul de f ou de F pour une variable à densité X :
• Pour tout x où F est C 1 on a f (x) = F 0 (x).
Rx
f (t) dt.
• Pour tout réel x on a F (x) =
−∞
Montrer que f est une densité de variable à densité (X inconnue) :
• f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R,
• f continue sur R (sauf éventuellement en un nomrbe fini de points),
+∞
+∞
R
R
•
f (t) dt converge et
f (t) dt = 1.
−∞
−∞
Montrer que F est une fonction de répartition de variable à densité (X inconnue) :
• F continue sur R,
• F C 1 sur R (sauf éventuellement en un nomrbe fini de points),
• F croissante sur R,
• lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1.
−∞
+∞
Déterminer l’espérance d’une variable à densité X :
•
+∞
R
tf (t) dt est absolument convergente,
−∞
• calculer E(X) =
+∞
R
−∞
tf (t) dt.


Toujours envisager d’abord E(aX + b) = aE(X) + b


Pour montrer l’ACV on montre souvent (positive + CV)
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