trigonométrie

TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE
Angles associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
p
cos æç + x ö÷ = -sin(x)
è2
ø
p
sin æç + x ö÷ = cos(x)
è2
ø
p
cos æç - x ö÷ = sin(x)
è2
ø
p
sin æç - x ö÷ = cos(x)
è2
ø
p
-x
2
p
+x
2
cos(p – x) = –cos(x)
sin(p – x) = sin(x)
p–x
x
cos(p + x) = –cos(x)
sin(p + x) = –sin(x)
p+x
–x
cos(–x) = cos(x)
sin(–x) = –sin(x)
Relations entre cos, sin et tan
cos2(x) + sin2(x) = 1
1 + tan2(x) =
1
cos 2 ( x)
Formules d'addition
cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
tan(a) - tan(b)
1 + tan(a ) tan(b)
tan(a - b) =
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)
Formules de duplication
cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2 cos2(a) - 1 = 1 - 2 sin2(a)
Extensions : cos(3a) = 4cos3(a) - 3cos(a)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a)
tan(3a) =
tan(2a) =
2 tan(a)
1 - tan 2 (a)
3tan( a ) - tan 3 ( a )
1- 3tan 2 ( a )
Au delà, utiliser la formule de Moivre.
Formules de linéarisation
cos2(a) =
Extensions :
1 + cos(2a)
2
cos3(a) =
sin2(a) =
cos( 3a ) + 3 cos( a )
1 - cos(2a)
2
sin3(a) =
4
tan2(a) =
- sin(3a ) + 3 sin( a )
1 - cos(2a)
1 + cos(2a)
tan3(a) =
- sin(3a ) + 3 sin( a )
4
cos(3a ) + 3 cos( a )
Au delà, utiliser les formules d'Euler. Les formules d'Euler permettent également de montrer que :
cos(a) cos(b) =
1
[cos(a - b) + cos(a + b)]
2
cos(a) sin(b) =
1
[sin(a + b) - sin(a - b)]
2
æ p+qö æ p-qö
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø
æ p+qö æ p-qö
sin(p) + sin(q) = 2 sin ç
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø
sin(a) sin(b) =
æ
è
æ p-qö
÷ sin ç
÷
ø è 2 ø
æ p-qö æ p+qö
sin(p) - sin(q) = 2 sin ç
÷ cos ç
÷
è 2 ø è 2 ø
cos(p) + cos(q) = 2 cos ç
cos(p) - cos(q) = -2 sin ç
p+qö
2
Résolution d'équations trigonométriques
U = p -V
V
1
[cos(a - b) - cos(a + b)]
2
U
cos(U) = cos(V) Û (U = V [2p] ou U = -V [2p])
sin(U) = sin(V) Û (U = V [2p] ou U = p -V [2p])
V
tan(U) = tan(V) Û U = V [p]
Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié
æaö
Si t = tan ç ÷ , on a :
è2ø
Formulaire de trigonométrie
cos(a) =
2t
2t
1- t2
; sin(a) =
; tan(a) =
1+ t2
1+ t2
1- t2
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