I. Ensemble des nombres complexes 1. Existence Théorème (admis)
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Chapitre VII
Les nombres complexes
Extrait du programme :
I.
Ensemble des nombres complexes
1. Existence
Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté , appelé ensemble des nombres complexes, qui
possède les propriétés suivantes :
-
contient tous les nombres réels
L’addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les
règles de calcul restent les mêmes.
Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = − 1
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + ib où a et b sont des nombres
réels.
Remarque : l’unicité de l’écriture implique que :
- Pour tous a et b réels, a + ib = 0 a = 0 et b = 0
- Pour tous a, a’, b, b’ réels, a + ib = a’ + ib’ a = a’ et b = b’
2. Forme algébrique
Définitions : L’écriture unique d’un nombre complexe z sous la forme z = a + ib avec a et b réels, est
appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans ce cas, a est appelé partie réelle de z et est noté : a = Re ( z )
b est appelé partie imaginaire de z et est noté : b = Im ( z )
Lorsque b = 0, z est un réel, et lorsque a = Re ( z ) = 0, alors z = ib est appelé imaginaire pur.
Exemples :
1. z = 2 + i 3, alors Re ( z ) = 2 et Im ( z ) = 3
2. z = 3, alors Re ( z ) = 3 et Im ( z ) = 0 ; z est un réel
3. z = 1,5i alors Re ( z ) = 0 et Im ( z ) = 1,5 ; z est un imaginaire pur.
Attention, la partie imaginaire d’un nombre complexe est un réel !!
4. z = 4 + i ( 5 − 2i ) n’est pas sous la forme algébrique, car elle n’est pas sous la forme a + ib
avec a et b réels.
4 + i ( 5 − 2i ) = 4 + 5i − 2i² = 4 + 5i − 2 × ( − 1 )= 6 + 5i est la forme algébrique de z.
Re ( z ) = 6 et Im ( z ) = 5.
II.
Les opérations dans
1. Règles de calculs
Somme de deux complexes : z = 1 + 3i
z’ = 2 − 5i
Alors z + z’ = ( 1 + 3i ) + ( 2 − 5i ) = 3 − 2i
Produit de deux complexes : z = 1 + 3i
z’ = 2 − 5i
Alors zz’ = ( 1 + 3i ) ( 2 − 5i )
= 2 − 5i + 6i − 15i²
= 2 + i + 15
= 17 + i
Puissances de i :
i0 = 1 ; i1 = i ; i² = − 1; i3 = − i ; i4 = 1 ; i5 = i ; i6 = − 1 etc…
En utilisant les coefficients binomiaux du triangle de Pascal, on peut développer :
( 1 + i )4 = 14 + 4 × 13 × i1 + 6 × 1² × i² + 4 × 11 × i3 + i4
= 1 + 4i − 6 − 4i + 1 = − 4
2. Opposé et conjugué d’un complexe
Définitions :
L’opposé de z = a + ib est le nombre complexe − z avec –z ( − a ) = ( − b ) + i = − a − ib
Tout nombre complexe z de forme algébrique a + ib admet un complexe conjugué qui est le nombre
complexe noté défini par : 𝒛 = 𝒂 − 𝒊𝒃
Exemple : l’opposé de 2 + 3i est − 2 − 3i et son conjugué est : 2 − 3i
Propriété : le produit d’un nombre complexe par son conjugué est un réel positif :
𝒛 𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃²
Démonstration : 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 réels
𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏)= 𝑎2 − (𝑖𝑏)2 = 𝑎² + 𝑏²
CQFD
3. Inverse et quotient
Propriété – définition : Pour tout nombre complexe 𝑧 non nul, il existe un unique nombre complexe
z’ vérifiant : zz’ = z’z = 1.
1
z’ est l’inverse de z et se note
z
Démonstration : soit z un complexe non nul, z = a + ib avec a et b réels.
𝑧 𝑧 = a² + b²
zz
a² + b²
=1
Donc zz’ = 1 zz’=
zz
z z’ −
a² + b²
z
z
= 0 z’ −
= 0 (car z 0) z’ =
a² + b²
a² + b²
a² + b²
z
CQFD
Définition : Soient z et z’ deux nombres complexes avec z non nul.
z’
1
Alors le quotient de z’ par z est le nombre complexe = z’
z
z
4. Propriétés des conjugués
Propriétés : Pour tout z, z’ de :
Le conjugué de 𝑧 est z : 𝑧 = 𝑧
z est un réel 𝑧 = 𝑧
z est un imaginaire pur 𝑧 = −𝑧
Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : 𝑧 + 𝑧′ = 𝑧 + 𝑧′
Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : 𝑧 × 𝑧′ = 𝑧 × 𝑧′
Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués :
z
z
et =
z’ z’
1
1
si z0 , =
z z
n, zn = ( z )
n
Démonstration : On pose : z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’, et b’ réels
𝑧 = 𝑎 − (−𝑏)𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑧
𝑧 = 𝑧 a + ib = a − ib 2ib = 0 b = 0 z réel
Idem
z + z’ = a + a’ + i ( b + b’ ) donc 𝑧 + 𝑧′ = a + a’ − i ( b + b’ )
Et 𝑧 + 𝑧′ = a − ib + a’ − ib’ = a + a’ − i ( b + b’ )
Idem
Idem
On procède par récurrence en prenant d’abord n puis n en posant n = − p.
CQFD
Point-méthode 31 : Donner la forme algébrique de complexes
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
−5+i
3 + 2i
Solution : pour des produits, il suffit de développer en utilisant le fait que i² = − 1
a. z1 = ( − 5 + 7i ) ( − 2 + 3i )
b. z2 = ( 3 − 2i ) ²
c. z3 =
z1 = ( − 5 + 7i ) ( − 2 + 3i ) = 10 − 15i − 14i + 21i² = − 11 − 29i
z2 = ( 3 − 2i ) ² = 9 − 12i + 4i² = 5 − 12i
Pour des inverses ou des quotients, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué
du dénominateur et utiliser le fait que 𝑧 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏²
− 5 + i ( − 5 + i ) ( 3 − 2i ) − 15 + 10i + 3i − 2i² − 13 + 13i
z3 =
=
=
=
=−1+i
3 + 2i ( 3 + 2i ) ( 3 − 2i )
9+4
13
Point-méthode 32 : Utiliser l’égalité de deux nombres complexes
1. Déterminer les réels x et y pour que l’on ait : ( 2i + 1 ) x +( − 1 + i ) y = 1 + 2i
2. A quelle condition le nombre complexe z = x + 1 + i ( − ix + x ) + 3i − 3ix est-il un réel ? un
imaginaire pur ?
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé. Déterminer l’ensemble des points M de
x + 1 + iy
coordonnées ( x;y ) tels que le nombre complexe Z =
soit un réel.
x+i(y−1)
Solution :
1. Deux complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie imaginaire sont
égales. On écrit donc les deux complexes sous forme algébrique.
x − y = 1
( 2i + 1 ) x + ( − 1 + i ) y = 1 + 2i x − y + i ( 2x + y ) = 1 + 2i 2x + y = 2
Soit x = 1 et y = 0
2. On écrit z sous la forme algébrique.
z = x + 1 + i ( − ix + x ) + 3i − 3ix = x + 1 − xi² + ix + 3i − 3ix = 2x + 1 + i ( − 2x + 3 )
Un complexe est réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle
3
z réel équivaut à Im ( z ) = 0, ce qui équivaut à − 2x + 3 = 0 x =
2
Un complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
−1
z imaginaire pur Re ( z ) = 0 2x + 1 = 0 x =
2
3. On doit écrire Z sous forme algébrique grâce au conjugué du dénominateur :
( x + 1 + iy ) ( x − i ( y − 1 ) )
x + 1 + iy
x² − ixy + ix + x − iy + i + ixy − i²y² + i²y
Z=
=
=
x+i(y−1) (x+i(y−1))(x−i(y−1))
x² + ( y − 1 ) ²
x² + y² + x − y
x−y+1
=
+i
x² + ( y − 1 ) ²
x² +( y − 1 )²
x − y + 1 = 0
x−y+1
=0
(x ; y) (0;1)
x² +( y − 1 )²
L'ensemble cherché est donc la droite d’équation x − y + 1 = 0 privée du point de coordonnées (0 ;1)
Donc Z réel Im ( Z ) = 0
III.
Résolution dans des équations du second degré à coefficients réels.
1. Préliminaire
Dans , tout nombre réel est un carré :
4 est le carré de 2 ou de – 2
− 4 est le carré de ( 2i ) ou de ( − 2i )
Résoudre dans , z² + 3z + 4 = 0
3 ² 7
3 ²
−7
z² + 3z + 4 = 0 z + + = 0 z + −
=0
2
4
2
4
3 ²
7 ²
z + − i
=0
2 2
3
7
3
7
z + − i
z+ +i
=0
2
2
2
2
− 3 + i 7 − 3 − i 7
;
On a donc deux solutions dans : s=
2
2
2. Généralisation
Théorème : On appelle P le polynôme P ( z ) = az² + bz + c où a, b et c sont trois réels donnés et
son discriminant avec = b² − 4ac.
Solutions dans de l’équation Pz
Une solution unique réelle z0 = b
a
Deux solutions réelles distinctes
Factorisation de Pz
>0
b
b
et z2 =
a
a
Deux solutions complexes conjuguées
Pza (z – z1 ) (z – z2 )
<0
b i
z1 =
a
Pza (z – z1 ) (z – z2 )
=0
z1 =
et z2 =
b i
Pza (z - z0 )²
a
Démonstration :
Si ≥ 0 : même démonstration que dans
Si 𝛥 < 0 : 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 𝑎 [(𝑧 +
𝑏
)² −(
2𝑎
𝑖√|∆|
2𝑎
2
) ] = 𝑎 (𝑧 +
𝑏−𝑖√|∆|
𝑏+𝑖√|∆|
2𝑎
2𝑎
) (𝑧 +
)
CQFD
nd
Point-Méthode 33 : Résoudre une équation du 2 degré à coefficients réels
Résoudre dans les équations suivantes :
1. a. − 10z² + 2z − 1 = 0
b. z4 + 6z² − 7 = 0
2. a. Développer ( 1 − 3 ) ²
b. Résoudre dans l’équation suivante : z² + ( 1 − 3 ) z + 2 − 3 = 0
Solution :
1. a. On commence par procéder comme dans
− 10z² + 2z − 1 = 0
= − 36 = ( 6i ) ² Lorsque <0, il est préférable de l’écrire sous la forme d’un carré d’un imaginaire
pur que l’on retrouvera dans les 2 solutions.
L’équation a donc deux solutions complexes conjuguées :
1
3 1
3
− 2 − 6i 1
z1 =
= + i 3 et z2 = z 1 = 1 − i 3 donc s = 10 + 10i ;10 − 10i
− 20
10
10
10
10
b. On reconnait une équation bicarrée, on effectue donc le même changement de variable que
dans
Posons Z = z².
Ainsi z4 + 6z² − 7 = 0 Z² + 6Z − 7 = 0
= 64 donc deux solutions réelles distinctes : Z = 1 ou Z = − 7
Ainsi z4 + 6z² − 7 = 0 z² = 1 ou z² = − 7
On a donc : s={ − 1 ; 1 ; i
7;−i
7}
2. a. ( 1 − 3 ) ² = 1 − 2 3 + 3 = 4 − 2 3
b. z² + ( 1 − 3 ) z + 2 − 3 = 0
=(1− 3)²−4(2− 3)=1−2 3+3−8+4 3
=−4+2 3=−(4−2 3)
On reconnait le développement de a.
=(i(1− 3))²
L’équation admet 2 solutions complexes conjuguées :
−1+ 3−i(1− 3)
2
z1 =
IV.
et z2 =
−1+ 3+i(1− 3)
2
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Dans les paragraphes suivants, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; u ; v ) . Ce plan est
le plan complexe.
1. Affixe d’un point
Définition :
A tout complexe z = a + ib avec a et b deux réels, on associe dans le
plan complexe un point M et un seul de coordonnées ( a; b).
Réciproquement, à tout point M de coordonnées ( a;b ) du plan
complexe, on associe le nombre complexe unique z = a + ib.
z est appelé l’affixe du point M ou du vecteur OM, et M est appelé le
point image de z et OM est appelé vecteur image de z.
Lecture des écritures : z étant un nombre complexe,
M ( z ) se lit “le point M d’affixe z” et l’affixe du point M se note souvent zM.
w(z) se lit “le vecteur w d’affixe z” et l’affixe d’un vecteur w est souvent notée z w
Attention : On ne peut pas comparer deux complexes comme on compare deux réels
Propriété : Soit z un nombre complexe. Le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe 𝑧 sont
symétriques par rapport à l’axe des réels.
Démonstration : Soit M d’affixe z = a + ib et P d’affixe 𝑧.
Alors, dans le plan muni d’un repère orthonormé, 𝑀(𝑥; 𝑦) et P ( x;− y ).
x+x y−y
Soit I le milieu de [MP] alors I(
;
) , donc I ( x;0 )(Ox)
2
2
Et MP= ( x − x;− y − y ) = ( 0;− 2y ) est colinéaire à v
CQFD
Propriété : Le point N ( − z ) est l’image de M par la symétrie centrale de centre O.
2. Affixe d’un vecteur
Propriété : Soient A et B du plan d’affixe respectivement zA et zB. L’affixe du vecteur AB est
z
AB
= zB − zA
Règles de calculs : Soient w et t deux vecteurs d’affixes z et z’, et k un nombre réel.
w = t si et seulement si z = z’
zw + t = z w + z
z
k
w
t
= z + z’
= kz w = z
3. Affixe du milieu d’un segment
Propriété : Soient A et B deux points d’affixe respective zA et zB.
Le milieu I du segment [AB] est le point d’affixe :
zI=
zA + zB
2
Point-méthode 34 : Déterminer l’affixe d’un point ou d’un vecteur :
Soient A, B et C des points du plan dont les affixes sont zA = − 3 + i, zB = − 1 − 2i et zC = 4 + 3i
1. Déterminer l’affixe du vecteur AB
2. Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
3. Déterminer l’affixe du centre I du parallélogramme ABCD.
Solution :
1. L’affixe de AB est zB − zA = − 1 − 2i + 3 − i = 2 − 3i
2. Il faut traduire l’égalité vectorielle par une égalité de deux complexes :
ABCD parallélogramme équivaut à AB = DC , donc z
AB
=z
DC
On obtient : 2 − 3i = 4 + 3i − zD, soit zD = 4 + 3i − 2 + 3i donc zD = 2 + 6i
3. I centre du parallélogramme donc I est le milieu de la diagonal [AC]:
z + z 1 + 4i 1
zI = A C =
= + 2i
2
2
2
V.
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Module et argument d’un nombre complexe
Définition : Soit z = a + ib l’affixe d’un point M (ou du vecteur w)
Le module du nombre complexe z, noté |z| est la distance OM (ou la norme de w) dans le plan ; on a
donc :
|z| = a²+b²
Propriété : Pour tout nombre complexe z, le carré de son module est égal au produit du complexe par
son conjugué.
|z|²=𝑧𝑧
Exemple : | − 1 + 3i| =
( − 1 )²+3² = 10
et
( − 1 + 3i ) ( − 1 − 3i ) = 10
Remarque : Si z est réel, on a : z = a avec a. Ainsi |z| = a² = |a|
Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
Propriété : distance entre deux points
Si A et B ont pour affixes respectives zA et zB alors : AB = |zA − zB|
Démonstration :
|zB zA| |xB iyB xA iyA| |xB xA ) + iyB yA| =
( xB − xA ) ² +(yB−yA)² = AB
CQFD
Exemple : A ( 2 − 5i ) et B ( 1 + 3i ) : AB = | ( 1 + 3i ) − ( 2 − 5i ) | = |1 + 8i| =
( − 1 )²+8² = 65
Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M.
Un argument de z est une mesure, en radians, de l’angle orienté ( u , OM). On le note arg ( z ).
1
Remarques :
- Un nombre complexe a une infinité d’argument car si est l’un d’eux, alors tous les autres
sont de la forme + 2kpi, avec k. On note note arg ( z ) = ou, par abus de langage
ou de notation, arg ( z ) = .
-
0 n’a pas d’arguments, car l’angle ( u , OM) n’est pas défini si M est en O.
Interprétation géométrique :
y
3 3
Exemple : Soient A(1), B ( − 2 ), C + i , D ( − i )
2 2
Arg ( 1 ) = 0 + 2kk
3 3
+ i = + 2kk
2 2 4
Arg
arg ( − 2 ) = + 2kk
arg ( − i ) = + 2kk
2
C
B
0
A
D
Propriété :
- Le module d’un nombre complexe est nul si et seulement si c’est le complexe nul.
|z| = 0 z = 0
- Le nombre complexe, son conjugué et son opposé ont le même module : |𝑧| = |𝑧̅| = |−𝑧|
-
arg(𝑧̅)= −arg(z) [2𝜋]
arg ( − z ) = arg ( z ) + [2𝜋]
Démonstration : z nombre complexe, on considère le point M d’affixe z :
| z | = 0 OM = 0 M et O sont confondus z = 0.
Pour tout nombre complexe z, d’image M, d’après des propriétés de symétrie, les points P d’affixe
et N d’affixe -z vérifient : OM = ON = OP c’est-à-dire : |z| =| z | = |z|
CQFD
x
Point-méthode 35 : Déterminer et utiliser le module d’un complexe
1. Déterminer le module des nombres complexes suivants : 3i, 3+4i et – 4
2. Dans le plan complexe, les points C et D ont pour affixes respectives : 1+4i et 2 – i
Déterminer la distance CD.
3. Soit A un point du cercle de centre O et de rayon 3. Soit z son affixe, que vaut 𝑧𝑧 ?
4. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que :
a. |z − 1 − 4i| = 3
b. |z − 1 − 4i| = |z − 2 + i|
Solution :
|3i| = 3
1. Il faut identifier a et b dans chaque écriture algébrique
|3 + 4i| = 9+16 = 5
| − 4| = 4
2. CD = |zD − zC|= 2 − i − 1 − 4i| = |1 − 5i| = 1+25 = 26
3. On traduit l’appartenance au cercle grâce au module :
A appartient au cercle de centre O et de rayon 3 donc OA=3 et ainsi, |z|=3
Or |z|²=𝑧𝑧 , donc 𝑧𝑧 =9
4. On traduit le module à partir d’une différence entre z (affixe cherchée) et zN (affixe
d’un point connu ou qu’on peut placer). Ici, on reconnait 1 + 4i = zC
a. |z − 1 − 4i| = 3 |z − zC|= 3 MC = 3
L’ensemble cherché est donc le cercle c(C ;3) de centre C et de rayon 3.
b. On reconnait encore 1 + 4i = zC et aussi zD = 2 – i :
|z − 1 − 4i| = |z − 2 + i| |z − zC|= |z − zD| MC=MD
L’ensemble est donc la médiatrice du segment [CD]
2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
Théorème - Définition :
Tout point M du plan complexe distinct de l’origine O, tel que |zM|= r et arg ( zM )=
Il peut être repéré de deux manières :
- Par son affixe : zM = a + ib
-
Par son couple module/argument (appelé coordonnées polaires) : ( r; )
a = r cos ( )
On a alors :
b = r sin ( )
L’écriture : z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) est appelée forme trigonométrique de z
Remarque : peut être remplacé par n’importe quel nombre de la forme + k × 2 (k), donc tout
nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques.
Exemples : i = cos (
) + i sin ( )
2
2
2
2
+i
= cos ( ) + i sin ( )
2
2
4
4
2 = 2 ( cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) )
Formules de passage :
D’une forme trigonométrique à
la forme algébrique
De la forme algébrique à
une forme trigonométrique
Si z a b i
avec a, b et (a , b) (0,0)
Alors z = r (cos + i sin )
avec r = z =
tel que cos = a
z
y
x=| z | cos
0
Si z = r (cos + i sin )
avec r et
a² b² et
alors z a b i
a r cos
avec
b r sin
et sin = b
z
x
|z|
y = | z | sin
Point-méthode 36 : Passer d’une forme à l’autre
1. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z1 = − 5 + i 5
2. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z2 de module 4 et d’argument
–
6
Solution :
1. On calcule d’abord le module de z, puis cos(z) et sin(z).
z1 = − 5 + i 5 donc | z 1| =
On note = arg ( z1 ), donc cos ( ) =
5+5 = 10
a − 5
b
5
=
et sin ( ) =
=
|z1|
|z1|
10
10
On simplifie les valeurs de cos ( ) et sin ( ) afin de retrouver des valeurs connues, pour
retrouver ensuite grâce au cercle trigonométrique.
− 5
− 5
−1 − 2
5
2
=
=
=
et sin ( ) =
=
2
10
5× 2
2
10 2
3
Ainsi, =
[2]
4
cos ( ) =
3
3
10 cos (
) + i sin (
)
4
4
2. Connaissant le module et un argument de z2, on peut écrire une forme trigonométrique,
Une forme trigonométrique de z1 est donc : z1 =
puis remplacer par les valeurs de cos ( ) et sin ( ).
3 1
−
−
z2 = 4 cos (
) + i sin (
)=4
− i
6
6
2 2
La forme algébrique de z2 est donc : z2 = 2
3 − 2i
3. Propriétés calculatoires de la forme trigonométrique
Egalité de deux complexes :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et le même argument
modulo 2
Somme de deux complexes (Inégalité triangulaire) :
Pour tous nombres complexes z et z’ : |z + z’|≤|z| + |z’|
Produit de deux complexes : Pour tous nombres complexes z et z’
|z.z’|=|z|.|z’|
et
arg ( zz’ ) = arg ( z ) + arg ( z’ ) [2]
M (z)
Démonstration : soient z et z’ 2 complexes de formes trigonométriques :
z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) et z’ = r’ ( cos ( ’ ) + i sin ( ’ ) )
zz’=r ( cos ( ) + i sin ( ) ) r’ ( cos ( ’ ) + i sin ( ’ ) )
= rr’ ( cos ( ) cos ( ’ ) + i cos ( ) sin ( ’ ) + i sin ( ) cos ( ’ ) − sin ( ) sin ( ’ ) )
= rr’ ( cos ( ) cos ( ’ ) − sin ( ) sin ( ’ ) + i ( cos ( ) sin ( ’ ) + sin ( ) cos ( ’ ) ) )
= rr’ ( cos ( + ’ ) + i sin ( + ’ ) )
CQFD
Inverse et quotient de deux complexes : pour tous nombres complexes z et z’
1
1 = 1
et
arg = − arg ( z ) [2]
z' |z'|
z’
z
z = |z|
et
arg = arg ( z ) − arg ( z’ ) [2]
z' |z’|
z’
Démonstration : soient z et z’ 2 complexes de formes trigonométriques : (avec z’ non nul)
z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) et z’ = r’ ( cos ( ’ ) + i sin ( ’ ) )
z
r(cos ( ) + i sin ( ))
r
( cos ( ) + i sin ( ) ) ( cos ( ’ ) − i sin ( ’ ) )
=
= ×
z’ r’ ( cos ( ’ ) + i sin ( ’ ) ) r’ ( cos ( ’ ) + i sin ( ’ ) ) ( cos ( ’ ) − i sin ( ’ ) )
r cos ( ) cos ( ’ ) + sin ( ) sin ( ’ ) + i ( sin ( ) cos ( ’ ) − cos ( ) sin ( ’ ) )
×
r’
cos² ( ’ ) + sin² ( ’ )
r
= × ( cos ( − ’ ) + i sin ( − ’ ) )
CQFD
r’
=
Puissance d’un complexe : Pour tout entier relatif n,
|zn| = |z|n
et
arg ( zn ) = narg ( z )
Démonstration : par récurrence en utilisant la formule d’un produit
Exemples :
i
i
=
=
i
i
² ²
=
² ²
=
i = ( ² ²)3 = 5
Point-méthode 37 : Utiliser les propriétés sur les modules et les arguments
1
3
1. On considère z = + i . Déterminer la forme algébrique de z2012
2
2
2. a. Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de Z =
b. En déduire les valeurs exactes de cos (
3−i
1−i
) et sin ( )
12
12
Solution :
1. Pour déterminer la forme algébrique de zn, on peut commencer par déterminer une forme
trigonométrique de zn.
1
3
z= +i
donc |z|=1 et arg ( z ) =
2
2
3
Or |z2012| = |z|2012 donc |z2012|=1
arg ( z2012 ) = 2012 × arg ( z )
2012 2 2010
Donc arg ( z2012 ) =
=
+
3
3
3
2
2 2
=
+ 335 ×
=
[2]
3
3
3
2
2
Ainsi, une forme trigonométrique de z2012 est : z2012 = cos (
) + i sin (
)
3
3
et
On en déduit alors sa forme algébrique : z2012 =
−1
3
+i
2
2
3−1
3+1
( 3−i)(1+i)
2. a. Z = 3 − i =
=
+i
est la forme algébrique de Z
1−i
2
2
2
Z est un quotient, on va s’intéresser au module et à l’argument du numérateur et du
dénominateur, puis utiliser les formules pour le quotient.
b −1
−
a
3
| 3 − i| = 2
et cos ( ) = =
sin ( ) = =
donc arg ( 3 − i ) =
|z| 2
|z| 2
6
|1 − i| = 2
et cos ( ’ ) =
1
2
=
2
2
sin ( ’ ) =
−1 − 2
−
=
donc arg ( 1 − i ) =
2
4
2
Ainsi, d’après les formules :
2
−
|Z| =
= 2
et arg ( Z ) =
+ =
6
4 12
2
Ainsi, une forme trigonométrique de Z est : Z =
2 cos ( ) + i sin (
)
12
12
b. D’après les formules de passages, on sait que : a = r cos ( ) et b = r sin ( )
On connait a et b grâce à la forme algébrique, et on connait r grâce à la forme
trigonométrique.
3+1
3+1
On sait que Re ( Z ) = |Z| × cos ( ) et donc 2 cos ( ) =
ainsi, cos ( ) =
12
2
12
2 2
Et alors, cos (
)=
12
6+
4
2
3−1
Im ( Z ) = |Z| × sin ( ) et donc 2 sin ( ) =
et ainsi, sin ( ) =
2
VI.
6−
4
2
Notation exponentielle
Il semblerait que les arguments suivent les mêmes règles de calculs que les exposants.
En fait, la fonction f définie par : f ( t ) = cos t + i sin t vérifie l’équation :
f ( t + t’ ) = f ( t ) × f ( t’ ) qui est la relation fonctionnelle de l’exponentielle.
De plus, les fonctions cos et sin étant dérivables sur , on admet que la fonction à valeurs
complexes f est elle aussi dérivable sur et que, pour tout t,
f’ ( t ) = − sin t + i cos t = i ( cos t + i sin t ) = if ( t )
Ainsi, f ’ = if et f ( 0 ) = 1 donc, par analogie avec la fonction exponentielle, on note :
, cos ( ) + i sin ( ) = e i , nombre complexe de module 1 et d’argument .
Définition : Tout nombre complexe z non nul, de module r strictement positif et d’argument
possède une écriture z = r e i, appelée forme exponentielle de z.
√3
1
𝜋
𝜋
𝜋
Exemple : √6 + 𝑖√2 = 2√2 ( 2 + 𝑖 2) = 2√2(cos ( 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 6 )) = 2√2𝑒 𝑖 6
écriture algébrique
écriture trigonométrique
écriture exponentielle
Remarque : attention, si une exponentielle réelle est nécessairement positive, ce n’est pas le
cas d’une exponentielle complexe : e i = − 1, on retrouve la formule d’Euler (notre maître à
tous)
Propriétés : autre écriture des propriétés sur modules et arguments
Pour tout réels et ’, pour tous réels strictement positifs r et r’, et tout entier relatif n :
z = z’ r e i = r’ e i' r = r’ et = ’ + 2k
zz’ = r e i r’ e i' = rr’ e i ( +’ )
(k)
zn = ( r e it ) = rn e in
(Formule de Moivre pour r = 1)
1
1
1
=
= × e − i
i
z re
r
i
z
re
r
=
= × e i ( − ’)
i
’
z’ r’ e
r’
n
Applications :
′
′
1. La formule 𝑒 𝑖𝜃 . 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 𝑖(𝜃+𝜃 ) permet de retrouver facilement les formules
d’addition du cosinus et du sinus.
2. Pour tout réel , on a : 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃
D’où : cos =
e i + e
2
− i
et sin =
e i − e
2
− i
et 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑒 −𝑖𝜃
(formules d’Euler)
Point-méthode 38 : Utiliser la notation exponentielle
i
1. Soit z = 3 e 3 . Montrer que z57 est un réel. Préciser son signe
2. Linéariser ( cos ( ) )3, c’est-à-dire l’écrire sans puissance.
Solution :
1. Pour démontrer qu’un nombre est réel, on peut montrer qu’il a un argument égal à 0 ou .
Arg ( z57 ) = 57arg ( z ) donc arg ( z57 ) = 57 ×
soit, arg ( z57 ) = 19 = + 9 × 2
3
Ainsi, un argument de z57 est , donc z57 est un nombre réel.
Pour déterminer le signe d’un complexe réel, on peut l’écrire sous forme exponentielle.
De plus, |z57| = |z|57 = 357
On en déduit que z57 = 357e i , Or e i = − 1
donc z57 = − 357 C’est donc un réel négatif.
2. Pour linéariser des formules trigonométriques, on utiliser les formules d’Euler ainsi que les
coefficients du triangle de Pascal.
e i + e − i
e i + e
donc cos3 =
2
2
1
D’où cos3 = ( e 3i + e − 3i + 3 e i + e
8
cos =
− i
− i
3
= 1 ( e 3i + 3 e 2i e
8
− i
+ 3 e i e
1
4
− 2i
+e
− 3i
3
4
).
) = 1 ( 2 cos ( 3 ) + 6 cos ) = cos ( 3 ) + cos
8
Point-méthode 39 : Faire des démonstrations géométriques
1. Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixes respectives :
i
zA = 2 e 4 , zB = 4 + 2i et zC = − 5 − i
Calculer zB − zA et zC − zA. En déduire que les points A, B et C sont alignés.
2. Soient E, F et G trois points du plan complexe d’affixes respectives :
zE = − 2i, zF = − 3 + i et zG = 3 + i
a. Déterminer la forme algébrique du quotient
zF − zE
, puis une forme trigonométrique.
zG − zE
b. Donner une interprétation géométrique. En déduire la nature du triangle EFG.
Solution :
1. Pour faire des opérations sur les affixes, il faut les écrire sous la même forme. Nous allons
donc écrire zA sous forme algébrique.
i
) + i sin ( ) = 2 2 + i 2 = 1 + i
4
4
2
2
donc zB − zA = 4 + 2i − 1 − i = 3 + i
zA = 2 e 4 = 2 cos (
et zC − zA = − 5 − i − 1 − i = − 6 − 2i = − 2 ( 3 + i )
donc zC − zA = 2 ( zB − zA )
Une différence de 2 affixes de 2 points est l’affixe d’un vecteur
Ainsi, AC = 2 AB : A, B et C sont donc alignés.
2. a. Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombre coplexe, on doit en trouver son module
et son argument. On va d’abord écrire ce quotient sous forme algébrique.
zF − zE − 3 + i + 2i − 3 + 3i ( − 3 + 3i ) ( 3 − 3i ) − 3 + 9 + 6i 3 1
=
=
=
=
= +i 3
zG − zE
9+3
12
2
2
3 + i + 2i
3 + 3i
On en déduit que |
zF - zE
|=
zG - zE
Si l’on note un argument de
D’où :
zF − zE
zG − zE
b. |
Arg(
= cos (
1+3 = 1
4 4
zF − zE
, on a cos = 1 et sin = 3 donc =
zG − zE
2
2
3
) + i sin ( )
3
3
zF - zE EF
z -z
et | F E|= 1 donc EF=EG
|=
zG - zE EG
zG - zE
zF − zE
) = arg ( zF − zE ) − arg ( zG − zE ) = ( u ; EF ) − ( u ; EG ) = ( EG ; u ) + ( u ; EF ) = et
zG − zE
donc Arg(
zF − zE
) =( EG ; EF ) =
zG − zE
3
Le triangle EFG tel que EF=EG et ( EG ; EF ) =
est donc un triangle équilatéral.
3
