Genèse des nombres complexes :

Genèse des nombres complexes :
Au XVIe siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour
résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à
effectuer certaines « opérations interdites » sur les nombres réels.
Pourtant, les méthodes en questions permettaient de trouver de
manière efficace les solutions de certaines équations.
Afin de « régulariser » cette situation, ils ont été amenés à créer un
nouvel ensemble de nombres :
Le corps des nombres
complexes
Le nombre imaginaire j
On définit les nombres j et – j vérifiant:
j 2 = (- j 2) = - 1
Forme algébrique des nombres
complexes
z = a + bj
• a : partie réelle du nombre complexe z
• b : partie imaginaire du nombre complexe z
(a et b sont des nombres réels)
Le plan complexe
Ordonnée du point M: b
M
+
z = a + jb Affixe du point M
a : Abscisse du point M
Module & Argument d’un nombre
complexe
M (z)
+
b
ρ
Module de z
θ
Argument de z
a
Notations:
Module de z:
Argument de z:
|z|
arg(z)
ρ2
=
a2 + b2
a
=
ρ cos (θ)
b
=
ρ sin (θ)
Forme trigonométrique d’un nombre
complexe
z = ρ cos (θ) + j ρ sin (θ)
Autre notation de la forme trigonométrique:
z = [ ρ;θ ]
Conjugué d’un nombre complexe
z = a + jb
z = a - jb
y
M
(-z )
2
M
b
1
(z)
4
2
-6
-4
-2
o
2
4
a
6
-2
-4
M
3 (-z)
M
4(
z)
x
|z| = |z|
arg (z) = - arg (z)
zz = (a + jb)(a – jb) = |z|2
Addition de deux nombres
complexes z et z’
M’’ ( z’’ = z + z’ )
+
b + b’
b
+ M (z)
M’ (z’)
+
b’
a
a’
a + a’
z = a + jb
z’ = a’ + jb’
z + z’ = (a + a) + j (b + b’)
Multiplication de deux nombres
complexes z et z’
z=a+jb=[ρ;θ]
z’=a’+jb’=[ρ’;θ’]
zz’ = (aa’ – bb’) + j (ab’ + a’b)
zz’ = [ ρρ’ ; θ + θ’]
y
P (zz’)
+
5
4
ρρ’
M’ (z’)
+
3
2
ρ’
1
θ’
ρ
-4
-2
o
-1
-2
-3
θ + θ’
M (z)
+
θ
2
4
6
8
x