Position et vitesse d`une particule quantique L`équation de

Position et vitesse d’une particule quantique
L’équation de Schrödinger générale
Chapitre 2
Joseph Fourier
1768-1830
William R. Hamilton
1805-1865
La particule libre en mécanique quantique
En mécanique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décrit
par une fonction d’onde (x, t) (on se limitera ici au cas à une dimension)
Description probabiliste :
Une mesure de position donnera le résultat x à dx près avec la probabilité
dP = | (x, t)|2 dx
densité de probabilité : P(x, t) = | (x, t)|2
Evolution dans le temps :
Si la particule est libre, c’est-à-dire n’est soumise à aucune force, ni aucune
mesure, l’évolution de (x, t) est donnée par
⇥
i
=
⇥t
2
⇥2
2m ⇥x2
Questions centrales du cours d’aujourd’hui
Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l’impulsion d’une particule ?
Il s’agit également d’un résultat probabiliste, avec une densité de
probabilité reliée à la transformée de Fourier de (x, t)
Notion d’opérateur position et d’opérateur impulsion
Equation de Schrödinger en présence d’un potentiel V (x)
Peut-on connaître à la fois la position et l’impulsion d’une particule ?
Les relations d'incertitude de Heisenberg.
1.
La transformation de Fourier
propagation de la chaleur
⇥u(x, t)
⇥ 2 u(x, t)
=D
⇥t
⇥x2
Des séries de Fourier à la transformation de Fourier
T
g(t)
Fonction périodique g(t) de classe C 2
t
+⇥
g(t) =
fn e
in
n= ⇥
1
Convergence uniforme, fn =
T
2
⇥0 =
T
0t
T
e
in
0t
g(t) dt
0
Peut-on exprimer g(t) comme une somme
« continue » d’exponentielles oscillantes e
g(t)
t
?
g(t) =
+⇥
f( ) e
i t
i t
?
d
⇥
Si oui, comment trouver f ( ) connaissant g(t) ?
La transformation de Fourier,
du cours de maths au cours de physique
Maths en tronc commun : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)
f ⇥ fˆ
fˆ( ) :=
e
i ·x
f (x) dx
RN
Physique : la TF est défini dans L2 (fonctions de carré sommable)
1D :
⇥⇥
⇤(p) :=
xp/ : sans dimension, x = longueur,
1
2
+⇥
e
ixp/
⇥(x) dx
⇥
= Joule.seconde
p = impulsion
On utilise aussi l’espace S de Schwartz :
fonctions C décroissant plus vite que toute puissance de x à l’infini
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (I)
Connaissant
(x) , on calcule
⇤(p) =
1
2
(p) en utilisant
+⇥
⇥(x) =
ixp/
⇥(x) dx
⇥
Inversement, peut-on reconstruire
OUI !
e
1
2
(x) si on connaît sa TF
+⇥
(p) ?
eixp/ ⇤(p) dp
⇥
(p) sont TF l’une de l’autre,
±ixp/
même s’il faut se souvenir de la valeur du signe dans e
On dit pour simplifier que
(x) et
(x)
TF
(p)
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (II)
La TF est une isométrie pour l’espace L2
1 (x)
TF
1 (p)
1 (x)
2 (x)
2 (x)
Notation compacte:
Si
(x) est normée, alors
1=
dx =
1| 2⇥
= ⇥1 |⇥2 ⇥
(p) l’est également :
| (x)|2 dx =
Notation compacte: 1 =
⇥1 (p) ⇥2 (p) dp
|⇥(p)|2 dp
| ⇥ = ⇥|⇥⇥
TF
2 (p)
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (III)
(x)
Dérivation et transformée de Fourier
1
2
On part de ⇥(x) =
TF
(p)
eixp/ ⇤(p) dp
et on suppose qu’on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l’espace S)
par rapport à x :
On en déduit la TF de la dérivée de
d⇥(x)
=
dx
1
2
e
ixp/
[
ip
]
⇤(p) dp
d (x)
dx
TF
Dérivation par rapport à x dans l’espace des positions
=
multiplication par
p dans l’espace des impulsions
ip
(p)
2.
La distribution en impulsion d’une particule quantique
Comment faire une mesure de vitesse ou d’impulsion ?
(x, 0)
A l’instant t = 0, la particule a pour fonction d’onde
| (x, 0)|2
x0
x
x⇥0
Méthode de temps de vol : la particule évolue pendant un temps t suffisamment
⇥)
long de sorte que xt
x0 (on peut montrer que xt t quand t
L
xt
x⇥0
Probabilité pour que la particule parcourt la distance
x
x = x⇥0 + L
L pendant le temps t ?
L’analyse rigoureuse de ce problème est faite au chapitre 2, §6 (hors programme)
La densité de probabilité pour l’impulsion
Proposition : si une particule est dans l’état
probabilité pour son impulsion est :
P(p) = | (p)|2
(x), alors la distribution de
(x)
TF
(p)
Est-ce mathématiquement possible ?
On a vu que
(p) est normée si
(x) est normée, donc
P(p) dp = 1
P(p) peut donc bien être une densité de probabilité
Est-ce physiquement réaliste?
Classiquement, une fois connue la trajectoire x(t) de la particule, on définit
l’impulsion de la particule par :
dx
p=m
dt
Retrouve-t-on ce résultat au niveau quantique pour les valeurs moyennes ?
Impulsion moyenne d’une particule libre quantique
Au niveau quantique, on sait calculer l’évolution de la position moyenne de
la particule en fonction du temps :
| (x, 0)|2
| (x, t)|2
x
x
x⇥0
x⇥0 =
x⇥t
x | (x, 0)|2 dx
x⇥t =
x | (x, t)|2 dx
d x⇥t
Trouve-t-on p⇥t = m
si on définit p⇥t
dt
par p⇥t =
p | (p, t)|2 dp ?
Un résultat utile pour la suite du cours
Comment s’exprime p⇥ =
p | (p)|2 dp en fonction de
On réécrit cette valeur moyenne sous la forme :
isométrie :
⇥1 (p) ⇥2 (p) dp =
'1 ( p ) = '( p )
dérivation :
2 (p)
= p (p)
d’où le résultat:
(p)
p⇥ =
TF
TF
1 (x)
p⇥ =
2 (x)
1 (x)
(x) ?
(p) p (p) dp
dx
= (x)
d (x)
2 (x) =
i dx
d (x)
(x)
dx
i dx
TF
(x)
d x⇥t
Retour à la question : p⇥t = m
?
dt
L’évolution de la position moyenne de la particule est donnée par
d x⇥t
d
=
dt
dt
(x, t) (x, t) dx =
x
x
⇥
dx +
⇥t
x
⇥
⇥t
dx
On injecte alors l’évolution donnée par l’équation de Schrödinger
⇥
i
=
⇥t
2
⇥2
2m ⇥x2
⇥
i
=
⇥t
Intégrations par parties en supposant que
d⇥x⇤t
m
=
dt
i
= p⇥t
⇥
dx
⇥x
2
⇥2
2m ⇥x2
tend vers 0 quand |x|
⇥
à vérifier en exercice
(cf. diapo précédente)
Question résolue !
3.
Opérateurs position, impulsion, énergie
et
l’équation de Schrödinger générale
Position et impulsion en mécanique quantique
Valeur moyenne de la position : x⇥ =
x | (x)|2 dx =
(x) x (x) dx
Valeur moyenne de l’impulsion :
p | (p)| dp =
d
(x)
dx
i dx
p⇥ =
2
Structure commune en terme d’opérateur :
x⇥ =
p⇥ =
x̂
(x) [x̂ (x)] dx
(x) ⇥ x (x)
(x) [p̂ (x)] dx
(x) ⇥
p̂
d (x)
i dx
multiplication par
x
dérivation par rapport
à x (à
près)
Nous généraliserons plus tard cette structure à toute quantité physique
Retour sur l’équation de Schrödinger
pour une particule libre
Nous avons que l’évolution de la fonction d’onde
était régie à une dimension par l’équation :
⇥
i
=
⇥t
(x, t) d’une particule libre
2
⇥2
2m ⇥x2
Cette équation peut se réécrire en utilisant l’opérateur impulsion
⇥
p̂2
i
=
⇥t
2m
⇥
ou encore i
= Ĥ
⇥t
avec
⇥ (x)
(x) ⇥
i ⇥x
p̂
p̂2
avec Ĥ =
2m
Ĥ est l’opérateur « énergie cinétique », qui coïncide ici avec
l’énergie totale car aucun potentiel n’est pris en compte
Equation de Schrödinger = lien temps - énergie
L’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel
V(x)
Nous allons garder la structure i
⇥
= Ĥ
⇥t
en incluant dans Ĥ toutes les contributions à
l’énergie de la particule : cinétique et potentielle
x
Ĥ : opérateur énergie totale ou « Hamiltonien »
Principe 2 (cas général)
L’équation de Schrödinger qui régit l’évolution de la fonction d’onde (x, t)
d’une particule de masse m en mouvement dans le potentiel V(x) s’écrit :
⇥
i
= Ĥ
⇥t
Ecriture explicite : Ĥ (x, t) =
avec
p̂2
Ĥ =
+ V (x̂)
2m
⇤ 2 (x, t)
+ V (x) (x, t)
2
2m
⇤x
2
Equivalent quantique du principe fondamental de la dynamique (Newton)
4.
Paquets d’ondes
et
inégalité de Heisenberg
Interprétation « physique » de la TF
Premier amphi : on a vu l’onde de de Broglie (x) = e 0
associée à une particule d’impulsion p0 , mais cette onde n’est pas normalisée
ixp /
Aujourd’hui : toute fonction d’onde normalisée peut s’écrire
⇥(x) =
1
2
eixp/ ⇤(p) dp
(x) est une superposition d’ondes de de Broglie eixp/
(p) représente l’amplitude de l’onde eixp/ dans ce développement
+
+
=
paquet d’ondes
La TF est similaire au développement sur une base
⇥ sur une base orthonormée { ⇥un }
Développement d’un vecteur A
⌅=
A
un
n⌅
⇥(x) =
à relier à
n
Élément à développer
Type de somme
⇥
vecteur A
somme discrète
⇥un
Vecteurs de base
« poids » d’un
vecteur de base
normalisation
|
n
|
2
n|
2
n|
=1
1
2
eixp/ ⇤(p) dp
fonction
(x)
intégrale
up (x) = eixp/ / 2
| (p)|2
| (p)|2 dp = 1
On peut formaliser cette analogie en introduisant la notion de base continue.
Hors programme pour ce cours (bases hilbertiennes dans l’amphi 5)
L’exemple d’un paquet d’ondes « gaussien »
Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec les gaussiennes
P(p)
(p)
(p p0 )2 /(4q 2 )
e
2 p
P(p)
e
(p p0 )2 /(2q 2 )
moyenne : p⇥ = p0
écart-type : p = q
p
p0
Quelle est la fonction d’onde
Re( )
(x)
(x) correspondante ?
P(x)
h/p0
x
moyenne :
écart-type :
eip0 x/ e
e
2q 2 x2 /
x⇥ = 0
x=
2q
2 x
Pour ce paquet d’ondes gaussien, on a toujours :
x
p=
2
q 2 x2 /
2
2
Deux cas limites intéressants du paquet gaussien
Le paquet quasi-monocinétique :
p
Re( )
p0
Il y a alors beaucoup d’oscillations de
(x) avec une amplitude similaire car
x
h
=
p0
p=
2
p
Re( )
x
L’impulsion est alors mal définie :
x
2
On retrouve une onde plane
0
dans la limite p
x
Le paquet bien localisé :
x=
p
p0
x
: un paquet ne peut pas être à la fois bien localisé et quasi-monocinétique
L’inégalité de Heisenberg dans le cas général
On se donne une fonction d’onde normalisée
(x), de TF
(p)
Distribution de probabilité pour la position de la particule : P(x) = | (x)|2
x⇥ =
x = ⇥x ⇤
2
x | (x)| dx
2
⇥
2 1/2
⇥x⇤
Distribution de probabilité pour l’impulsion de la particule : P(p) = | (p)|2
p⇥ =
p = ⇥p ⇤
2
p | (p)| dp
2
On a toujours :
x
p
⇥
2 1/2
⇥p⇤
2
égalité atteinte seulement pour les gaussiennes
cf. PC
Signification physique de l’inégalité de Heisenberg
Il est impossible de préparer une particule dans un état tel que la position et
l’impulsion de la particule soient simultanément arbitrairement bien définies
On considère 2N particules toutes préparées dans le même état
Mesure de la position sur N particules
(x)
TF
⇥ ⇥(p)
Mesure de l’impulsion sur N particules
n(p)
n(x)
p
x
x⇥
x
p⇥
x
p
p
2
Ces histogrammes ne peuvent pas être simultanément arbitrairement étroits
Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des appareils
de mesure, c'est-à-dire la largeur des canaux des histogrammes
5.
La catastrophe classique de
l’effondrement de la matière par rayonnement
L’instabilité de la matière « classique » (1)
La « catastrophe » du rayonnement classique pour un atome :
un électron tournant autour d’un noyau est accéléré,
une charge accélérée rayonne.
Dans le modèle planétaire classique, l’électron en rotation
autour du noyau finit par « tomber » sur ce noyau.
Un électron en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de pulsation !
V (r) =
énergie potentielle :
équilibre des forces :
e /r
q2
e =
4⇡"0
2
m! 2 r = e2 /r2
énergie cinétique : Ecin
énergie totale :
2
e2
=
2r
Etot = Ecin + V (r) =
e2
2r
Etot ⇥ ⇤
r
0
L’instabilité de la matière « classique » (2)
Puissance rayonnée par une charge accélérée (cf. cours d’électromagnétisme
antérieur) :
a = ! 2 r : accélération
e2 a2
P⇠ 3
c
c : vitesse de la lumière
Perte relative d’énergie sur un tour :
Valeur typiques :
r = 1 Å
E
|Etot |
! ⇡ 2 1016 s
⇠ 4⇡
1
✓
2
e /r
mc2
◆3/2
e2 /r
⇡ 3 10
mc2
La perte relative d’énergie par tour est faible ( ⇡ 10 6 ),
mais l’électron fait !/(2⇡) ⇡ 3 1015 tours par seconde…
En un temps de l’ordre de m2 c3 r 3 /e4 ⇡ 0.4 ns ,
l’électron devrait tomber sur le noyau !
5
La stabilité de la matière « quantique »
L
quantique
classique
Les atomes sauvés par l’inégalité de Heisenberg…
Confiner une particule dans une région d’étendue L « coûte »
de l’énergie cinétique :
x
L
p
2L
On a ici hpi = 0 et donc Ecin
p2
=
2m
~2
8mL2
Quand la taille L de « l’orbite » tend vers 0, ce coût en énergie cinétique / 1/L2
l’emporte sur le gain en énergie potentielle / 1/L
La taille de « l’orbite » de l’électron
qui minimise son énergie totale
Etot = Ecin + Epot
Ecin
~2
⇠
8mL2
Lmin
Epot ⇠ V (L) =
Minimum de
Etot
e2
L
~2
8mL2
L
~2
e2
atteint pour Lmin =
4me2
L
Raisonnement non rigoureux, mais qui donne bien (à un facteur numérique près)
le rayon de Bohr, c’est-à-dire la taille de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène
Dans cet état fondamental, l’atome ne peut pas rayonner d’énergie
En résumé
2
Distribution de probabilité pour la position | (x)| et pour l’impulsion | (p)|2
TF
x p
2
Structure opératorielle :
x⇥ =
p⇥ =
x̂
(x) [x̂ (x)] dx
Opérateur position :
(x) [p̂ (x)] dx
⇥ (x)
Opérateur impulsion : (x) ⇥
i ⇥x
(x) ⇥ x (x)
p̂
⇥
Equation de Schrödinger générale : i
= Ĥ
⇥t
Opérateur énergie ou « Hamiltonien »
p̂2
Ĥ =
+ V (x̂)
2m