Glossaire Physique quantique Etat stationnaire : Un état stationnaire

Glossaire Physique quantique
Etat stationnaire :
Un état stationnaire correspond à un état dans lequel l’énergie du système a des valeurs fixées qui ne
dépendent pas du temps, autrement dit, la valeur moyenne de l’énergie de dépend pas du temps.
Les fonctions d’onde correspondantes sont de la forme :
Les systèmes fermés ou soumis à un champ de perturbation homogène sont décrits par des états
stationnaires.
Relation de Planck-Einstein :
A tout photon d’énergie E, on associe une onde électromagnétique de pulsation ω (de fréquence ν)
tel que :
Cette formule montre à quel point le concept d’énergie peut être puissant : il permet de faire le lien
entre 2 modèles physiques qui n’ont, a priori, rien à voir, à savoir celui d’onde et celui de particule.
Cette relation cèle ces deux descriptions sous un même nom : la dualité onde-corpuscule.
Relation de De Broglie :
A toute particule de quantité de mouvement p, on peut associer une onde de nombre d’onde k tel
que :
Cette formule, très analogue à la formule de Planck-Einstein, montre que la dualité onde-corpuscule
ne s’applique pas uniquement à la description de la lumière. Toute particule, même possédant une
masse, peut être modélisée par une « onde de matière ».
Fonction d’onde :
L’expérience des fentes d’Young a montré expérimentalement que la notion de trajectoire n’a plus
de sens pour décrire des particules telles que des électrons. Ainsi, l’impulsion et la position ne sont
plus des variables pouvant caractériser complètement un système. On doit donc parler d’état d’une
particule, qui est entièrement caractérisé par la donnée d’une fonction complexe dite fonction
d’onde
.
Cette fonction n’a aucun sens physique ! Cependant, son module au carré désigne la probabilité de
présence du système étudié au point à l’instant t.
Attention, toujours s’assurer de normaliser toute fonction d’onde (sans ça, elle ne peut pas décrire
un état du système) !
Relations d’incertitude d’Heisenberg :
Les opérateurs associés à l’impulsion et la position ne commutent pas entre eux. Il est donc
impossible de connaître à un instant donné l’impulsion et la position d’une particule avec une
précision arbitraire. Ceci est résumé par les inégalités :
On remarque que
.
D’où l’impossibilité de mesurer en même temps impulsion et position.
Remarque : du moment que deux observables ne commutent pas, alors il existe une inégalité reliant
le produit de leurs incertitudes.
Incertitude :
L’incertitude d’une observable A est définie comme l’écart-type statistique des différentes valeurs
propres possibles pour le système. Soit :
Opérateur hermitique (ou auto-adjoint) :
Un opérateur (ou endomorphisme) est dit hermitique (ou auto-adjoint) lorsqu’il coïncide avec son
adjoint :
Le théorème spectral garantit le fait que le spectre d’un opérateur hermitique est réel. Or, seules les
valeurs propres d’un système physique sont mesurables, en pratique. De fait, seul un opérateur
hermitique peut correspondre à une grandeur physique observable.
Espace Complet d’Observables qui Commutent (ECOC) :
Une base d’un tel espace est formée par la base de vecteurs propres qu’ont en commun chacun des
opérateurs décrivant le système qui commutent entre eux 2 à 2. On travaille, en général, dans des
espaces à 3 coordonnées d’espace. Ainsi, il suffit de trouver 3 observables qui commutent 2 à 2 pour
déterminer la base de l’ECOC associé, et donc, tous les états du système étudié.
Notation de Dirac en « bra-ket » :
A chaque fonction d’onde
l’ensemble des fonctions de carré sommable, il est possible
d’associer un vecteur d’état dit « ket » noté
espace d’Hilbert.
On définit alors la forme linéaire associée à
n’est rien d’autre que le transposé conjugué de
notée
.
dual de H, appelée « bra », qui
Autrement dit :
Le lien entre fonction d’onde et ket associé est
. C'est-à-dire que la fonction
d’onde est la projection du vecteur ket associé sur le système de coordonnées dans L².
Les
soit :
sont les vecteurs propres associés à l’opérateur vectoriel de position
où R valeur propre associée à
l’identité,
.
Il faut noter que les
ne sont pas des éléments de H mais ils forment tout de même une base
continue de H par isomorphisme (cf onde plane).
Par isomorphisme sur L², on définit le produit scalaire
agissant dans H tel que :
De plus,
n’est rien d’autre que le produit matriciel entre la matrice colonne
(vecteur) et la
matrice ligne
(forme linéaire) : c’est la définition même du produit scalaire hermitien dans un
espace hilbertien.
Oscillateur Harmonique :
Dans le cas 1D : son hamiltonien s’écrit
Ses valeurs propres sont les
Opérateur Impulsion :
Opérateur hermitique tel que
Théorème d’Ehrenfest :
Décrit l’évolution de la valeur moyenne d’une observable en fonction du temps
En l’appliquant aux opérateurs relatifs à l’impulsion et la position, on retrouve le Principe
Fondamental de la Dynamique, montrant ainsi que les valeurs moyennes ont un comportement
physique classique.
La physique classique est donc un cas limite de la physique quantique lorsque
.
Onde plane :
Il est possible de décomposer toute fonction d’onde selon une base continue d’onde plane selon :
La base des
ne sont pas des éléments de L² car de carré non sommables. Ils
ne peuvent donc pas décrire un état à part entière pour une particule. Ainsi, les kets associés
n’appartiennent pas à l’espace d’Hilbert H.
Mais comme toute somme infinie d’onde plane est un élément de L², on peut construire un espace
isomorphe à l’espace engendré par les
Les
dont les éléments sont les
.
vérifient donc des propriétés similaires aux éléments de H à savoir :
Une relation de fermeture :
De fait,
Cet espace isomorphe dispose aussi d’un produit scalaire :
distribution de Dirac
Principe de Pauli :
Le principe d’exclusion de Pauli stipule que deux fermions ne peuvent pas occuper simultanément un
même état quantique.
Equation de Schrödinger :
Equation linéaire décrivant l’évolution d’un état
en fonction du temps :
Cette équation est un postulat, c'est-à-dire qu’il n’existe pas de démonstration ! On peut cependant
la retrouver de plusieurs manières : couplage équation de D’Alembert / énergie totale d’une
particule, principe variationnel, intuition, etc…
Par abus de langage, on confond souvent équation de Schrödinger et équation aux valeurs propres
de l’hamiltonien H :
où E valeur propre de H (énergie)
Hamiltonien :
Opérateur hermitique associé à l’énergie :
où
correspond à l’énergie cinétique et V le potentiel
Le hamiltonien est un opérateur à variables séparables, ie :
Spin :
Toute particule élémentaire possède un moment cinétique intrinsèque appelé moment de spin, noté
S. Ce dernier n’est lié à aucun type de mouvement mais il provient de la conservation du moment
cinétique d’un système par invariance par rotation dans l’espace (isotropie). Il constitue un degré de
liberté supplémentaire pour caractériser l’état d’une particule.
La plupart des particules élémentaires telles que l’électron, le positron, le proton, ou encore le
neutron possèdent un moment de spin de nombre quantique j=1 /2 (on parle alors de « spin un
demi »).
Par les règles de quantification du moment cinétique montrent alors que la projection selon une
direction de l’espace de ce moment de spin S ne peut prendre que 2 valeurs :
En effet, si
alors, comme
et varie par saut de 1, on a
Donc le spectre d’une des composantes de S a pour valeur propre
(cf moment cinétique)
.
Moment cinétique :
Soit
l’opérateur moment cinétique d’un système défini tel que :
Et
décomposition selon les directions x, y et z de l’espace.
On peut montrer que
.
Autrement dit, il existe une base d’états propres aux opérateurs et
que l’on note comme
l’ensemble des
. Par commodité, on définit j et m 2 nombres quantiques quantifiant
respectivement les valeurs propres de
et
tels que :
Les règles de sélection permettent de déterminer que :
Il y a donc 2j+1 valeurs de m possibles.
Valeur moyenne :
Soit A une observable d’états propres
correspondant aux valeurs propres
dégénérées. Le système est dans l’état quelconque
.
La valeur moyenne de la grandeur A est :
De même :
non
Orbitale atomique :
Les états d’un électron soumis au champ potentiel central d’un atome hydrogénoïde de numéro
atomique Z sont décrits par des fonctions d’onde appelées orbitale atomique. Ces fonctions sont de
la forme :
Avec : _
: fonction radiale où n entier dit nombre quantique principal
_
: harmonique sphérique où l nombre quantique azimutal (quantifiant le moment
cinétique orbital total noté ), et ml nombre quantique magnétique (quantifiant une des
composantes
du moment orbital) tels que :
_
: composante de spin où ms nombre quantique de spin tel que
.
La donnée des 4 nombres quantiques n, l, ml et ms permet de déterminer sans équivoque l’état de
l’électron.
Les orbitales atomiques sont les fonctions propres du hamiltonien associées aux valeurs propres :
Chaque niveau
est 2n² fois dégénéré.
En effet, il y a 2l+1 valeurs de
possible pour un niveau n.
possibles. Et comme
et il y a 2 états de spin
Mesure et réduction pour un spectre discret non dégénéré:
Soit A une observable d’états propres
correspondant aux valeurs propres
dégénérées. Le système est dans l’état quelconque
.
La probabilité de mesurer la valeur
non
pour A est :
Si l’on obtient à l’issue de la mesure une valeur
, l’état (normé) du système est décrit par
C’est ce que l’on appelle la réduction du paquet d’onde : la mesure d’une grandeur observable
perturbe le système au sens où elle détermine sans équivoque son état. Après avoir effectué la
mesure, on est certain de l’état occupé par le système, il est déterminé.
.
Mesure et réduction pour un spectre discret dégénéré:
Soit A une observable d’états propres
propres
, avec non-dégénérée et
correspondant respectivement aux valeurs
dégénérée 2 fois.
Le système est dans l’état quelconque
La probabilité de mesurer la valeur
.
pour A est :
Si l’on obtient à l’issue de la mesure une valeur
, l’état du système est décrit par :