Les buts de cet amphi 1. Comprendre la signification physique du formalisme mis en place Quelle est l’information acquise lors d’une mesure ? Mesure des grandeurs physiques Formulation du principe 3, d’abord sous une forme « faible », puis sous sa forme « forte » 2. Exploiter le lien entre « quantités physiques » et « opérateurs » Valeurs propres et fonctions propres, résolution de l’équation de Schrödinger Chapitre 3 + §3.3 du chapitre 4 Jean Louis Basdevant 12 Leçons de Mécanique Quantique 2 Mesures de position et d’impulsion Particule ponctuelle de fonction d’onde Densité de probabilité pour la position : interférence d électrons (Hitachi) 1. La mesure des grandeurs physiques : Mesure d’impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol position, impulsion, énergie, … qui s’écrit aussi (isométrie + dérivation) : Structure commune en termes d’opérateurs Actions des opérateurs sur les états A. l'opérateur agit seulement sur la fonction !(x), et l'opérateur agit seulement sur la transformée de Fourier "(p) de !(x) B. les opérateurs et Valeur moyenne de la position : multiplication par x agissent tous les deux sur !(x) et "(p) C. l'opérateur Hamiltonien la fois sur !(x) et "(p) (énergie totale) est le seul à agir à Valeur moyenne de l’impulsion : dérivation par rapport à x (à près) Rappel du produit scalaire « naturel » dans L2 : Comment construire l opérateur La mesure d une grandeur physique quantité physique Principe 3 (version « faible ») À toute grandeur physique position , on peut associer une « observable » action de l’opérateur associé sur multiplication par impulsion : opérateur linéaire hermitien agissant dans l’espace des fonctions d onde Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l’état et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne des résultats vaut énergie totale moment cinétique Opérateur hermitien : ce qui entraîne en particulier que est réel associé à A ? Hamiltonien opérateur moment cinétique Définition générale On dit que est une fonction propre de l’opérateur , associé à une quantité physique A, si cette fonction n’est pas identiquement nulle et si 2. Valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur Le nombre a# (même dimension que A) est la valeur propre associée à Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable : on peut former une base de l’espace de fonctions avec ses vecteurs propres. Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie... Les fonctions propres de l hamiltonien L’exemple de l’opérateur impulsion Valeurs propres q et fonctions propres de l’impulsion Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l’évolution des systèmes : (à une dimension) La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique. Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement : Les fonctions propres de l’impulsion sont les ondes planes. potentiel harmonique Le spectre de l’impulsion (ensemble de ses valeurs propres) est l’ensemble des nombres réels . potentiel coulombien potentiel constant par morceau Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As V (x) Le puits carré infini Les valeurs propres de l énergie du puits carré infini Si on choisit E réelle négative : pas de solution pour simplifier les notations: Pour E réelle et positive : posons s'écrit alors x 0 (à vérifier en exercice) L Forme générale des solutions : Limite en x = 0 :! Limite en x = L :! Les vecteurs d’onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes : conditions aux limites : continue et les valeurs propres pour l’énergie sont « quantifiées » : Les « états stationnaires » du puits carré infini Bilan pour le puits carré infini E E3 Les fonctions propres de l’hamiltonien s’écrivent donc avec Normalisation : Ordres de grandeur L’ensemble des forme une « base » orthonormée de l’espace des fonctions d’onde telles que orthonormalité : développement d’une fonction d’onde sur cette « base » : Similaire à un développement d’une fonction périodique en série de Fourier On considère : - l'énergie E1 = EL d'un électron dans un puits quantique de largeur L = 6 10-9 m = 6 nm - l'énergie E1 = EN d'un nucléon (proton ou neutron) dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m = 4 fm A. El = 10 meV, EN = 10 MeV B. El = 10 meV, EN = 1 GeV! C. El = 1 eV, EN = 10 MeV D. El = 1 eV, EN = 1 GeV E2 E1 x 0 L Émission de lumière par un puits quantique nitrure de gallium E2 3. Quels résultats pour une mesure individuelle ? L = 12 E1 0 L couches atomiques L=6 Photon h ! = E2 - E1 = h c / " Quantité physique A, décrite par l’observable L Spectre de valeurs propres discret (ce qui exclut l’opérateur « impulsion ») Base orthonormée de fonctions propres Photo: P. Reiss/CEA for the invention of efficient blue light-emitting diodes which has enabled bright and energy-saving white light sources" Préambule 1 : lien entre « résultats de mesure » et « valeurs propres » On s’intéresse à la mesure d une quantité physique A! sur une particule préparée dans l’état pour tout : Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé) si et seulement si l’état est un état propre de l’observable avec Préambule 1 (suite) E3 E2 E1 : Preuve du sens réciproque de l’équivalence On suppose que la particule est dans un état tel que la quantité A est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure Alors, est état propre de avec la valeur propre . Preuve du sens direct de l’équivalence Si , alors le résultat de la mesure de A est certain. Par exemple, un état propre de l’hamiltonien est un état d’énergie bien définie. Démonstration : Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée. Préambule 1 (suite) Préambule 2 : qu’attend-on d’une mesure ? Preuve du sens réciproque de l’équivalence On suppose que la particule est dans un état tel que la quantité A est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure La mesure d’une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble de nombres) qui apporte une information sur le système étudié. Tailles d’une population : Alors, est état propre de avec la valeur propre taux d’apparition . taille Démonstration : Pour que l’information fournie ne soit pas factice, il faut que la même mesure d’une même quantité (ici la taille d’un individu donné) à deux instants « très proches » donnent le même résultat (répétabilité). Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée. Quel est l’état de la particule après une mesure ? Exemple d’une mesure d’énergie dans un puits E3 E2 E1 état initial à l’instant t2 à l’instant t1 mesure de l’énergie : résultat $% Quelles sont les valeurs possibles de $ ? Quel est l’état après la mesure ? une nouvelle mesure de l’énergie sur le même système à un instant t2 « très proche » de t1 doit donner avec certitude le même résultat $% cf. préambule 2 Pour que le résultat à l’instant t2 soit avec certitude égal à $, il faut (cf. préambule 1) que: (i) $ soit une des valeurs propres En de l’opérateur énergie (ii) le système soit dans un état propre mesure à t1 :! « Instants très proches » : l’état du système n’évolue pas de manière significative entre les deux mesures. Les résultats possibles pour une mesure individuelle Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles sont les valeurs propres de l opérateur . Si la particule est avant la mesure dans l’état propre résultat est avec certitude la valeur propre a#. de , alors le Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque avec alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres a#. Quelle est la loi de probabilité correspondante ? Cette loi se déduit de : de l’opérateur énergie à l instant t2 Loi de probabilité pour a# : Version forte du principe de la mesure On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique Valeurs propres a# et fonctions propres orthonormées !# de , d’observable inconnu avec Principe 3 (version « forte ») La probabilité p# de trouver le résultat a# est Juste après une mesure ayant donné le résultat a# , la fonction d onde de la particule est , état propre associé à la valeur propre a# Qu’apprend-on dans une mesure (II) ? Si on dispose de N particules préparées dans le même état inconnu, on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque particule déterminer les probabilités p#% À partir de appareil de mesure (classique) 0 Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur physique A est nécessairement une des valeurs propres a# de appareil de mesure (classique) 0 Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement sur l’état du système après la mesure : a# supposée ici non dégénérée Avant la mesure : inconnu Qu’apprend-on dans une mesure (I) ? a#1$ p1=N1/N a#2$ p2=N2/N a#3$ p3=N3/N 100 , on peut reconstruire (au moins partiellement) Si le résultat est #2, l'état après cette mesure est : 100 On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l’état On sait seulement que n était pas nulle… La fonction d’onde est modifiée de manière irréversible par la mesure : « réduction du paquet d’ondes » Évolution d’un état quelconque On détermine les états propres de l’hamiltonien : Les états 4. Fonction d’onde initiale de la particule : Etats propres de l’hamiltonien et Résolution de l’équation de Schrödinger Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut : Démonstration : le On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps : proposé est-il solution de ? La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie. Évolution d’un état quelconque Les états propres de l’hamiltonien sont des « états stationnaires » Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 : On détermine les états propres de l’hamiltonien : Les états forment une « base » de l’espace des fonctions d onde forment une « base » de l’espace des fonctions d onde alors la solution de l’équation de Schrödinger à l’instant t est Fonction d’onde initiale de la particule : Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut : La probabilité de présence n’évolue pas : Démonstration : le proposé est-il solution de ? La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie. et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique Un état d’énergie bien définie n’est pas « en mouvement » ! Le chat de Schrödinger Principe de superposition : si et « éligibles », alors la superposition Le "chaton de Schrödinger" : expériences ? sont des fonctions d’onde l’est aussi. Électron dans l’expérience des trous d’ Young : « passé dans le trou de gauche » ET « passé dans le trou de droite » Bonne question : peut-on observer des superpositions d'états quantiques "macroscopiquement distincts" ? Beaucoup d'expériences possibles : S. Haroche: champ électromagnétique micro-onde dans une cavité résonnante; D. Wineland: mouvement d'un ion dans un piège électromagnétique. Le dispositif diabolique de Schrödinger : Illustration avec un oscillateur harmonique "semi-classique » ! On attend un temps bien choisi pour que la probabilité de désintégration soit 0.5... Le chat est-il dans l'état ??? Cette question est-elle bien posée ? Non ! (pas d'expérience) 2 Cette question est-elle absurde ? Non plus ! (expérience ?) Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I) Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique" Le "chaton de Schrödinger" : expériences (II) Effets quantiques "macroscopiques" ? On suppose que l'oscillateur de période T est placé à t = 0 dans l'état: x(t) = X sin(% t + &), p(t) = P cos(% t + &), P = m% X Inégalités de Heisenberg !x !p " !/2 -& & On peut construire un paquet d’onde Gaussien tel que • les valeurs moyennes sont x(t) et p(t) 2!x0 • !x = !x0 = (! / (2m%))1/2 • !p = m% !x0 = (! m% / 2)1/2 donc !x !p = !/2 • l'amplitude X vérifie X >> !x0 , On a alors une oscillation "quasi-classique" P(x) x -5!x0 +5!x0 Deux états de même amplitude X mais de phases opposées ± & sont "macroscopiquement distincts" : équivalents des états "mort" et "vivant" ? 1 ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} ) 2 -& & 2!x0 Que se passe-t-il quand les deux "branches" de son mouvement vont se croiser à t = T/4 ? A. rien de spécial, car l'oscillateur est présent ou pas (c'est-à-dire soit "mort" soit "vivant") B. les deux "branches" se repoussent et l'oscillateur fait demi-tour dans les deux cas C. la densité de probabilité de présence est modulée spatialement Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III) Interférences quantiques "macroscopiques" Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III) Interférences quantiques "macroscopiques" 1 - Peut-on observer l'état ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} ) 2 - On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on en déduit les distributions de probabilité correspondantes -& & 2!x0 P(x, t = 0) -5x0 P(x, t = T/4) P(EX ) +5x0 x signe – dans! !% quantique 00 +5E 0 - Lorsque X augmente, les franges sont de plus en plus serrées, et les signes ± de la superposition se moyennent : perte de la "cohérence" "OU" classique décohérence - On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on en déduit les distributions de probabilité correspondantes -& & 2!x0 P(x, t = T/4) P(x, t = 0) signe + dans !% classique ? 'x - Les interférences observées sur P(x, t =T/4) prouvent le caractère quantique de la superposition ! (dépendent du signe ± dans ) "ET" quantique 1 2 - Peut-on observer l'état ψ = √ (ψ{X,+ϕ} + ψ{X,−ϕ} ) -5x0 +5x0 x 00 +5E x - En pratique, superpositions (et décohérence) observées pour des oscillateurs optiques ou micro-ondes, ou pour le mouvement d'une particule piégée. - Autres effets similaires : interférences de grosses molécules (virus ?), cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), … - Importance pratique considérable pour le développement de futurs « ordinateurs quantiques »…