puissances et racines carrées

Chapitre : Puissances et racines
I Les puissances
Définition des puissances : Considérons un nombre x et un nombre entier n.
On a : x n = x × x × …. × x × x se lit " x puissance n" ou " x exposant n"
avec n " x "
…
x 4 = x × x × x × x se lit " x puissance 4 " ou " x exposant 4"
x 3 = x × x × x se lit " x au cube " ou " x puissance 3 "
x ² = x × x se lit " x au carré " ou " x puissance 2 "
x1=x
x0=1
1
x –1 =
x
1
1
x –2 =
=
x²
x×x
1
1
x –3 =
= 3
x × x × x x
…
1
1
x –n =
= n
x
x × x × ….. × x × x
avec n " x "
Exemples : 2 10 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
9,4 0 = 1
( – 3,41 ) 1 = – 3,41
105 = 100 000 c’est un 1 suivi de 5 zéros
10 – 5 = 0,000 01 c’est un 1 précédé de 5 zéros
1
1
1
1
xn
5–2 =
=
= 0,04
=
1
:
=
1
×
= x n
xn
1
5 × 5 25
x –n
74 7 × 7 × 7 × 7
=
7²
7×7
Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations.
Exemple : ( 7 – 10 ) 4 – 8² + 12 × 5 = ( – 3 ) 4 – 8² + 12 × 5
= 81 – 64 + 12 × 5
= 81 – 64 + 60
= 77
Règles des puissances : x et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a :
xm
xn
x n
m − n
=
x
3°
)
)
2° )
1° ) x m × x n = x m + n
n
n=(
x
y
y
4° ) x n × y n = ( x × y ) n
5° ) ( x m ) n = x m × n
Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des exemples simples.
Ecriture scientifique : Tout nombre décimal peut s’écrire comme le produit d’un nombre n’ayant qu’un seul
chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d’une puissance de dix.
Cette écriture s’appelle une écriture scientifique.
Exemples : 54 000 000,0 = 5,4 × 107
0,000 005 78 = 5,78 × 10 – 6
7 chiffres
6 zéros
8
−2
8
0,0265 × 10 = 2,65 × 10 × 10 = 2,65 × 10 6
Taille d’un électron : 9 × 10 -31 m
L’étoile polaire est à 6 × 10 18 m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)
II Les racines carrées
Définition des racines carrées : Considérons un nombre x positif. On note x et on lit "racine carrée de x " le
nombre positif dont le carré est x.
Pour la calculer, on utilise la touche " " de la calculatrice.
10 ≈ 3,16
Exemples : 49 = 7
0=0
1=1
Remarques : – Puisqu’un carré est toujours positif, la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
– On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée".
– Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs.
Exemple : 5 × 36 + ( 8² – 100 ) : 9 = 5 × 36 + ( 64 – 10 ) : 9
= 5 × 6 + 54 : 9
= 30 + 6
= 36
D’autre part on a : 1,44 = 1,2 car 1,2 ² = 1,44
Remarque : Pour prouver que x = y il suffit de vérifier que y ² = x
x²
x
8
11
x²
64
121
x
x
Penser à : la racine carrée est
l’inverse du carré donc faire une
racine carrée puis un carré
revient à ne rien faire !!
x
On a donc x ² = x et
( x )²= x = x × x
Propriété des racines carrées : x et y étant des nombres positifs, on a :
1° ) x ² = ( x ) ² = x
2° )
x ×y=
x × y
3° )
x
=
y
x
y
4° )
x²×y= x
y
Preuve : 1° ) déjà vu.
2° ) car ( x × y ) ² = ( x ) ² × ( y ) ² = x × y et c’est donc bien vérifié d’après la remarque précédente.
x
x² x
)²=
= et c’est donc bien vérifié d’après la remarque précédente.
3° ) car (
y
y² y
4° ) On a : x ² × y = x ² × y d’après 2° )
= x y
d’après 1° )
Exemples :
3²=3
( 7)²=7
(2 6 ) ² = 2² ( 6 ) ² = 4 × 6 = 24
25
25 5
2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4
25 × 9 = 25 × 9 = 5 × 3 = 15
=
=
16
16 4
18
3² × 2 3 2 3
=
=
=
50
5² × 2 5 2 5
²
Remarque : On doit avoir ( x 0,5 ) = x 0,5 × 2 = x 1 = x
donc x 0,5 est un nombre dont le carré est x : c’est donc x . On a ainsi x 0,5 = x .
C’est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance.
Application à la simplification des racines : Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et
obtenir des racines carrées "irréductibles".
Exemples : 18 = 3² × 2 = 3 2
(on a utiliser la propriété 3)
5 32 = 5 4² × 2 = 5 × 4 2 = 20 2
75 + 3 12 = 5² × 3 + 3 2² × 3 = 5 3 + 3 × 2 3 = 5 3 + 6 3 = 11 3
Exemple de développement :
( 7 + 3 ) ( 3 – 5 ) + 12 = 7 3 – 35 + 3² – 5 3 + 2 ² × 3
= 7 3 – 35 + 3 – 5 3 + 4 3
= 6 3 – 32
Exercice 1 : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche « ^ » ou « x y » de ta calculatrice.
A = 25
B= ( –4)²
C= –4²
D = 10 6
E = 400 0
F = 5–1
G = 2–2
H = 10 – 3
I = 8,36 × 10 3
J = 50 1
K = 0 10
L = 1–7
3
M=3²+4²
N= (3+4)²
P = 10 × ( – 3)
Q=2×7–7²
R = 3 – 5 (4 – 7 ) ² + 2 3 × 5
S = 8,01 × 10 4
T = 7 × 10 – 3
U = 9,1 × 10 5
V = 8,31 × 10 – 6 W = 1,1 × 10 – 1 X = 6,75 × 10 9
Exercice 2 : Ecris avec des puissances.
A=8×8×8×8×8
B=(–4)×(–4)
D=
C=–4×4×4
Exercice 3 : Ecris avec que des multiplications et des divisions.
A=74
B = 10 – 1
C = 6–3
12 0 × 8 3
H=
F = – 54
G=( –5)4
61
Exercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante :
1
7×7×7×7
E = 0,000 1
D=3²×65
1
I = –3
7
E = 73 × 5–2
23 × 5–2
J= 4
9 × 7–3
Exemple
x
3
× x 2=…×…×…×…×…= x
x 3 …×…×…
=
= x
x 2
…×…
Règle
…
x
m
× x
n
= x
………
x m
..........
n = x
x
…
x2 …×… … …
… …
= × = (
)
2 =
…
y
…×… … …
x n
… …
)
n = (
y
…
x 2 × y 2 = … × … × … × … = ( … × … ) ×( … × … ) = ( … ×… ) … x n × y n = ( ….×… ) …
(x
3
) 2 = …… × …… = ……
(x
m
) n = … ……
Exercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a n.
85
10 3
20 7
B= 2
D= 7
E= 7
A = 73 × 72
C = 54 × 5–6
8
10
5
3
3
4
4
×
5
7
J = –2
F=3²×5²
G= (93)²
H = 74 × 72 × 7 –5 I =
7 × 5²
4
Exercice 6 : Trouve l’écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice).
A = 650 000
B = 0,004 7
C = 915,5
D = 984 000 000 000
G = 54 000 × 0,000 002
H = 7,1 × 10 4 × 2 × 10 – 6
E = 0,000 000 1
F = 8 × 10 5 × 10 6
Exercice 7 : Vue au brevet.
Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique.
A=
( – 2 ) × 10 – 3 × 25 × ( 10 ² ) ²
50 × 10 5 × ( – 0,1 ) × 10 – 3
B=
16 × 10 – 5 × 3 × 10 4
24 × 10 – 3
210 × 10 – 6 × 5 × 10 5
7 × 10 15 × 8 × 10 – 8
E=
4
35 × 10
5 × 10 – 4
Exercice 8 : Complète les tableaux suivants
Valeurs exactes
C = –3 ² – (–3) ² +10 5 × 10 – 3 +
D=
x²
6
F=
3
10 3
2,5 × 10 – 3 × 9 × 10 5
15 × 10 – 4
Valeurs arrondies à 0,1 près
2,4
x²
64
25
121
8
10
Exercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible.
36
C=
A= 8²
B = 36 × 49
D = 4,2 ² × 100
81
45
40
49
I=
F=
H=
G = 8,1 × 10
100
20
810
48 ²
K=
M = 2 × 18
N= 7× 7
L = 64 × 25
6²
35
23,4
108,7
E=4 7²
J = 4 × 12 ²
P=7 8 2–2 5 5
Exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Exercice de préparation au brevet (7 points)
Exercice 2 : On considère les expressions suivantes
A = 65 – ( 25 – 5 ) 5 + 3,2 × 10 6 – ( 7 – 15 ) ²
B = ( – 1 ) 702 – ( 7 – 8 ) – 47 + 0 124 – 1
12 ²
35 8
36× (34)5
D= 8
G= 8
H = –6
C = 16 9 × 16 – 24
E = 9 7 × 47
F= (83)5
12
7
3 × 34× 37
I = 0,000 000 000 010 8
J = 310 000 000 000 000
a ) Calcule A et B
b ) Mets de C à H sous la forme a n
c ) Ecris I et J en écriture scientifique
Exercice 3 : Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls)
50
27
–4
D=
–2
C=4
A = 4 9² – 2 ( 8 ) ² – 19
B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9
32
3
E = 4 45 + 81 – 3 20 – 6 5 – 8
F = 3 6 – 54 + 150 – 5 6 + 1
G = ( 5 3 + 7 ) ( 9 – 3 ) – 38 3 – 47
H = ( 3 5 – 2 ) ² – 48 + 12 5
I = ( 10 – 9 ) ( 10 + 9 )
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Résultats des exercices de préparation au contrôle
Exercice 2 : On considère les expressions suivantes
A = 65 – ( 25 – 5 ) 5 + 3,2 × 10 6 – ( 7 – 15 ) ²
B = ( – 1 ) 702 – ( 7 – 8 ) – 47 + 0 124 – 1
A = 65 – 20 5 + 3 200 000 – ( – 8 ) ²
B = 1 – ( – 1 ) – 47 + 0 – 1
A = 64 – 3 200 000 + 3 200 000 – 64
B=1– ( –1) +0–1
A=1
B=1+1–1=1
12 ²
D = 8 = 12 – 6
E = 9 7 × 4 7= 36 7
C = 16 9 × 16 – 24 = 16 – 15
12
36× (34)5
36 × 320
326
35 8 8
3 5
15
H
=
=
=
= 3 21
G= 8=5
F= (8 ) =8
3 – 6 × 3 4 × 3 7 3 – 6 × 311
35
7
I = 0,000 000 000 010 8= 1,08 × 10 – 11
J = 310 000 000 000 000= 3,1 × 10 14
Exercice 3 : Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent
être nuls)
On doit trouver A = B = C = D = E = F = G = H = I = 1 qui est bien de la forme a + b c car 1 = 1 + 0 0
B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9
A = 4 9² – 2 ( 8 ) ² – 19
A = 4 × 9 – 2 × 8 – 19
B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9
A = 36 – 16 – 19
B = 9 × 6 – 11 16 – 9
A=1
B = 54 – 11 × 4 – 9 = 1
50
50
25
C=4
–4=4
–4 = 4
–4
27
27
32
16
D=
–2=
–2= 9–2
32
3
3
5
C=4× –4=5–4=1
D=3–2=1
4
E = 4 45 + 81 – 3 20 – 6 5 – 8
F = 3 6 – 54 + 150 – 5 6 + 1
E = 4 3² × 5 + 9 – 3 2² × 5 – 6 5 – 8
F = 3 6 – 3² × 6 + 5² × 6 – 5 6 + 1
E = 12 5 + 9 – 6 5 – 6 5 – 8
F = 3 6 – 3 6 + 5 6– 5 6 + 1
E=1
F=1
G = ( 5 3 + 7 ) ( 9 – 3 ) – 38 3 – 47
H = ( 3 5 – 2 ) ² – 48 + 12 5
G = 45 3 – 5 3² + 63 – 7 3– 38 3 – 47
H = 9 5² – 12 5 + 4 – 48 + 12 5
H
= 45 + 4 – 48
G = 45 3 – 15 + 63 – 7 3– 38 3 – 47
H=1
G=1
I = ( 10 – 9 ) ( 10 + 9 ) = 10² – 9² = 10 – 9 = 1
Devoir facultatif : racine nième et puissance rationnelle
Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui
m
peuvent s’écrire
où m et n sont des nombres entiers relatifs.
n
Définition : Soient x un nombre et n un nombre entier positif.
n
On appelle "racine nième de x " et on note " x " le nombre positif qui à la puissance n donne x.
8
Exemple : 256 = 2 car 28 = 256
Remarques : - la "racine carrée" n’est autre que la "racine 2e"
- la "racine 3e" se dit plutôt la "racine cubique"
- comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver
Exercice 1 : calcule
4
3
A = 81
5
B= 8
3
C = 1024
1
8
D = 12,167
1
E= 1
1
On voudrait définir le nombre x 3 : on doit avoir ( x 3 ) 3 = x 3×3 = x 1 = x
1
Donc, x 3 est un nombre qui au cube donne x : c’est donc
Plus généralement, on a :
3
1
x. Ainsi, x 3 =
3
x
1
1
Définition : Soient x un nombre et n un nombre entier positif. On définit x n par x n =
1
3
n
x
3
Exemple : 1 000 = 1 000 = 10
Exercice 2 : calcule en réécrivant d’abord l’expression avec des puissances nième
1
1
1
A = 64 3
B = 2187 7
C = 1 000 000 6
m
D = 625 0,25
1
E = 7776 0,2
1
On voudrait maintenant définir le nombre x n : on doit avoir ( x n ) m = x n × m = x
Définition : Soient x un nombre et m, n des nombres entiers positifs.
On définit x
m
n
par x
5
m
n
m
n
1
=(xn)m
3
Exemple : 1 000 3 = ( 1 000) 5 = 10 5 = 100 000
Remarque : puisque tout nombre décimal peut s’écrire en écriture fractionnaire (exemple :
45 781
45,781 =
), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimaux.
1000
Exercice 3 : calcule
2
A = 1728 3
B = 512
10
9
3
C = 256 4
D = 441 1,5
E = 81 2,25
Remarques : • cette généralisation de la notion de puissance n’est pas vraiment terminée
car il faudrait vérifier qu’ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par exemple
3
1
vérifier que x 6 = x 2
• vous savez donc combien vaut 541,64 mais pas encore 5 π ce qui est chose
beaucoup plus délicate. Bien qu’en pratique nous n’utilisons quasiment que des nombres
rationnels (sauf π et quelques rares autres), il se trouve que ces nombres ne représentent qu’une
infime partie des nombres en général (nombres réels). A vrai dire, les nombres rationnels
représentent exactement 0 % des nombres réels … si si, mais ça c’est une autre histoire.